Материал: Введение в мат.анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

101

4.					;
5.				при	.
5.				при	.
Теорема верна и в случае односторонних пределов и в случае пределов на
бесконечности:		и	.
Примеры.
1).	, .

Действительно:

В частности,	,	при .
2).	,
где		многочлен степени .
Действительно:

	.
3).	,
где			рациональная функция и	.
где			рациональная функция и	.
Действительно:
		.
		.

4).

§ 5. Пределы элементарных функций.

	Рассмотрим пределы основных элементарных функций (см. §7 гл. 2).
1. Степенная функция:			.
Покажем, что если		, то	.
При	или	, где	это показано выше (см. Примеры 1 и 3, §4).

102

, где

Пусть

, т.е.

Докажем, что при

Рассмотрим сначала случай

Докажем, что

. Согласно

определению предела функции на языке

- имеем:

Для

возьмем

; тогда из условий:

следует:

. Это означает, что

Теперь рассмотрим случай

. Докажем, что

. По определению

предела функции имеем:

Для

(можно считать, что

возьмем

;

заметим, что при этом

. Тогда из условий:

получаем:

;

Таким образом, получаем:

Это означает, что

Теперь рассмотрим случай

Итак, доказано, что при

Пусть

, где

, т.е.

. Тогда:

Если

, то

Следовательно, если

любое рациональное число и , то

, т.е.

Ниже будет доказано это равенство для любого действительного числа .

Пример 1.

2. Показательная функция:

103

(Здесь вместо более привычного

пишем

, т.к. буква

«занята»).

Покажем, что для

Рассмотрим сначала случай

Докажем, что

Согласно определению предела функции на языке

- имеем:

В §8 главы 3 (см. Пример 2) было доказано, что

при

Заметим, что и

Поэтому

Возьмем

Тогда при :

будем иметь:

Пусть

, тогда

Это означает, что

Пусть

, тогда

и значит,

. Следовательно:

Таким образом, доказали, что

при любых

Пусть

произвольное действительное число. Докажем, что

Так как

, то

;

Итак, если

то

Пример 2.

3. Тригонометрические функции:

Покажем, что и для этих функций

Предварительно докажем следующее утверждение.

Лемма 1.

Для

справедливы неравенства:

Доказательство. В круге с центром в точке

и радиуса (см. рис. ниже) проведем

острый угол

, хорду

и касательную

к окружности в точке

. При этом

104

Используя сведения из планиметрии, можно

утверждать, что будут выполнены неравенства:

площадь

площади сектора

площади

Обозначим через

величину угла

в радианах.

Тогда

Получаем неравенства:

. Сокращая на

приходим к неравенствам:

. Лемма доказана.

Следствие.

Для ,

справедливо неравенство:

Для

справедливо неравенство:

Доказательство.

Для

это неравенство доказано, т.к.

Пусть

, тогда

и значит,

Итак, если

, то

. Если

, то

Пусть

, тогда

, а

, значит:

. Следствие доказано.

Рассмотрим функцию

. Докажем, что

Так как

, то по Следствию имеем:

Для

; тогда для

возьмем

. Это означает, что

Аналогично для функции

Так как

, то по Следствию имеем:

Для

; тогда для

возьмем

. Это означает, что

Для функций

имеем:

, если

Таким образом, если

тригонометрическая функция, то

Пример 3.		.

																										105
4. Обратные тригонометрические функции:												,						,						,		.
	Покажем, что и для этих функций																						.
	Предварительно докажем следующее утверждение.
Лемма 2.		Справедливы следующие соотношения:
1)																								;
1)																								;
2)
2)
Доказательство. 1). Введем обозначения:

		,	,																		.
Тогда																										.
Тогда																										.
По определению функции								имеем:								,										,
												. Так как функция									строго возрастающая на
		, то из равенства:													следует:						.			Первое равенство
доказано.
2). Введем обозначения:								,				,													.
2). Введем обозначения:								,				,													.
Тогда												.
Тогда												.
По определению функции							имеем:									,										,
												. Так как функция								строго возрастающая на
		, то из равенства:												следует:									. Второе равенство
доказано.
	Рассмотрим функцию											.
	Докажем, что																	.
Рассмотрим сначала случай					.			Докажем, что																.
	Согласно определению предела функции на языке -																		имеем:

																		.
Для			возьмем						(если						, то возьмем							1). Тогда для
		,																								.
Так как функция				строго возрастающая, то получаем неравенства:
													. Учитывая, что														и
								,				получим:												.
Это означает, что								.
	Далее рассмотрим случай									. Учитывая, что							, можно считать									.
Тогда по Лемме 2 имеем:
Тогда по Лемме 2 имеем:

		. Введем обозначение:																;
тогда											и
тогда											и
																										.
	Если		, то			и как уже доказано,																				.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)