Материал: Введение в мат.анализ

106

Так как

, то

, или:

.

Таким образом,

.

Рассмотрим функцию

.

Из равенства:

получим:

.

Рассмотрим функцию

.

Докажем, что

.

Рассмотрим сначала случай

.

Докажем, что

.

Согласно определению предела функции на языке

- имеем:

.

Для

возьмем

(если

, то в качестве

можно взять любое положительное число).

Тогда для

,

.

Так как функция

строго возрастающая, то получаем неравенства:

. Учитывая, что

и

, получим:

.

Это означает, что

.

Далее рассмотрим случай

. Учитывая, что

, можно считать

.

Тогда по Лемме 2 имеем:

Введем обозначение:

; тогда

и

.

Если

, то

и как уже доказано,

.

Так как

, то

, или:

.

Таким образом,

.

Рассмотрим функцию

.

Из равенства:

получим:

.

Таким образом, если

обратная тригонометрическая функция, то

.

5. Логарифмическая функция:

,

,

(В основании логарифма вместо более привычного

пишем , т.к. буква

занята).

Покажем, что для

.

Рассмотрим сначала случай

.

Докажем, что

.

107

Согласно определению предела функции на языке

- имеем:

.

Пусть

; для

возьмем

. Ясно, что

.

Тогда для

будем иметь:

и

, т.е.

.

Это означает, что

.

Пусть

, тогда

и значит,

. Следовательно:

.

Таким образом, доказали, что

при любых

,

Пусть

произвольное положительное число.

Докажем, что

.

Так как

, то

и

.

Итак, если

,

,

то

.

Возвращаемся к степенной функции

, где

произвольное

действительное число.

Представим эту функцию в виде композиции функций:

.

Пусть

произвольное положительное число. Тогда

.

Следовательно, и в этом случае

.

Теорема (о пределе элементарной функции).

Пусть

элементарная функция (§8 гл. 2) и

Т

.

если существуют пределы:

и

. Тогда

существует

, т.е.

.

Определение. Функция

называется бесконечно большой величиной (б.б.в.)

при

, если для любого числа

можно указать такое число

, что для всех

значений

и таких, что

,

выполняется неравенство

.

Функция

называется бесконечно большой величиной (б.б.в.) со знаком

при

, если для любого числа

можно указать такое число

, что для всех

значений

и таких, что

,

выполняется неравенство

.

Функция

называется бесконечно большой величиной (б.б.в.) со знаком

при

, если для любого числа

можно указать такое число

, что для всех

значений

и таких, что

,

выполняется неравенство

.

Соответствующие обозначения б.б.в. при

:

,

,

,

.

,

,

.

;

;

;

;

;

.

;

;

109

;

;

;

;

;

;

.

Все эти определения можно дать и на языке последовательностей.

Замечание.

Из определения б.б.в. следует:

б.б.в.

б.б.в.

б.б.в.

Примеры.

1)

б б в при

, т.е.

.

Действительно, так как по определению

, то

для

возьмем

тогда

т.е.

при

.

2)

б б в со знаком

при

, т.е.

.

Действительно, так как по определению

, то для

возьмем

; тогда

, т.е.

при

.

Если

, то

и

.

3)

б б в со знаком

при

, т.е.

.

Действительно, так как по определению

, то для

возьмем

; тогда

, т.е.

при

.

4)

б б в со знаком

при

, т.е.

.

Действительно, так как по определению

, то для

возьмем

; тогда

(т.к.

), т.е.

при

.

5)

б б в со знаком

при

, т.е.

.

Действительно, так как по определению

110

, то для

возьмем

; тогда

, т.е.

при

.

6)

б б в со знаком

при

, т.е.

.

Действительно, так как по определению

, то для

возьмем

; тогда

, т.е.

при

.

Легко установить, что при

выполняются следующие равенства:

,

.

Другие примеры бесконечно больших функций:

,

,

,

,

,

,

,

.

неограниченная функция на множестве

.

б.б.в. при

или

.

При этом: если

, то

; если

, то

; если

, то

.

В случае б.б.в. неравенство

должно выполняться для всех

из

некоторой окрестности точки или

; в случае неограниченной функции это

неравенство может выполняться лишь для некоторых значений .

Например,

неограниченная функция при

(на

), но она

не является бесконечно большой функцией при

(см. график):