Материал: Введение в мат.анализ

Связь между б.м.в. и б.б.в.

Теорема 1. Дана функция

, причем

для всех

из некоторой проколотой

окрестности точки

(или

). Тогда:

1) если

б.б.в., то

б.м.в.:

;

2) если

б.м.в., то

б.б.в.:

.

Символически это утверждение можно записать так:

и

.

Например:

б.м.в. при

б.б.в. при

.

Теорема 2. Даны функции

и

,

. Тогда справедливы

следующие утверждения:

1)

,

;

2)

,

;

3)

,

ограничена

;

4)

,

ограничена

;

5)

,

ограничена

;

6)

,

;

7)

,

, (

)

.

Следствие. Дана функция

и

,

. Тогда справедливы

следующие утверждения:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

,

.

Предел многочлена на .

Найдем предел многочлена

степени

при

.

,

.

. Здесь

, … ,

,

бесконечно малые

функции, поэтому выражение в скобках имеет предел, равный .

Введем обозначения:

,

.

112

Тогда

,

, (

). По теореме 2 имеем:

.

Таким образом:

.

Если

, то

, а если

, то

.

При

или

в зависимости не только от знака , но

и четности числа

.

Предел рациональной функции на .

Пусть

рациональная функция.

,

где

,

.

Если

, то

; если

, то

и

;

если

, то

и

.

Таким образом:

если

.

если

если

§ 7. Замечательные пределы.

Первый замечательный предел:

.

Заметим, что здесь

и

, поэтому воспользоваться

формулой:

невозможно.

Доказательство. По Лемме 1 из §5 имеем неравенства:

.

Разделив на

, получим:

, или

.

Так как

, то

.

Отсюда следует неравенство:

.

Если

, то

и по доказанному выше имеем:

. Таким образом,

для

верно неравенство:

.

113

По определению предела:

Для

тогда :

.

возьмем

;

.

Это и означает, что

. Формула доказана.

Следствия.

1)

; 2)

; 3)

; 4)

.

Доказательство.

1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

Второй замечательный предел:

или:

Доказательство. 1) Сначала докажем, что

.

любой последовательности

,

соответствующая последовательность

значений функции

. А этот факт действительно имеет место (см. §9 главы3).

2) Теперь докажем, что

.

.

Из равенств:

,

следует, что

.

Первая формула доказана. Докажем вторую формулу.

. Вторая формула также доказана.

114

Следствия.

1)

;

2)

; 3)

;

4)

;

5)

.

Доказательство.

1)

.