Материал: Введение в мат.анализ

5. Неопределенность типа

в отношении трансцендентных функций при

.

при

.

при

6. Неопределенность типа

.

Эти неопределенности преобразуются к неопределенностям типа

или

.

Например:

Степенно-показательной функцией называется функция

, где

,

элементарные функции,

. Функция

также является

е

.

Пусть существуют пределы:

,

.

1) если

, то

.

2) если

, то возможны следующие варианты:

;

;

неопределенность типа

.

3) если

и

, то:

,

;

,

;

4) если

и

, то:

,

;

,

;

,

неопределенность типа

.

5) если

и

, то:

;

;

;

неопределенность типа

.

Таким образом, получаем три новых типа неопределенностей, связанных со

степенно-показательной функцией

:

,

,

.

Примером раскрытия неопределенностей типа

является второй

замечательный предел:

.

Выведем следующую формулу:

.

. Формула доказана.

Например:

;

;

.

Неопределенности типа

и

изучаются в разделе «Дифференциальное

исчисление»

курса математического анализа.

Пусть функция

имеет область определения

и

точка сгущения

(при этом точка может принадлежать или нет). Введем обозначения:

, где

произвольное число,

;

, где

произвольное число,

.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1.

Если функция

возрастает в некоторой проколотой окрестности

и

ограничена сверху на этой окрестности, то существует конечный предел

.

Если функция

возрастает в некоторой проколотой окрестности

и не

ограничена сверху на этой окрестности, то

.

Теорема 2.

Если функция

убывает в некоторой проколотой окрестности

и

ограничена снизу на этой окрестности, то существует конечный предел

.

Если функция

убывает в некоторой проколотой окрестности

и не

ограничена снизу на этой окрестности, то

.

Теорема 3.

Если функция

возрастает в некоторой проколотой окрестности

и

ограничена снизу на этой окрестности, то существует конечный предел

.

Если функция

возрастает в некоторой проколотой окрестности

и не

ограничена снизу на этой окрестности, то

.

Теорема 4.

Если функция

убывает в некоторой проколотой окрестности

и

ограничена сверху на этой окрестности, то существует конечный предел

.

Если функция

убывает в некоторой проколотой окрестности

и не

ограничена сверху на этой окрестности, то

.

Аналогичные утверждения справедливы и при

.

Общий признак существования предела.

Для произвольных функций

имеется такой же признак существования

предела, как и в случае последовательности (см. § 10 главы 3).

Теорема 5 (признак Больцано-Коши при

).

Пусть

точка сгущения . Для того чтобы функция

имела предел при

, необходимо и достаточно, чтобы

.

Аналогичное утверждение справедливо и при

.

Теорема 6 (признак Больцано-Коши при

).

Пусть

точка сгущения (см. § 1). Для того чтобы функция

имела

предел при

, необходимо и достаточно, чтобы

.

Аналогичное утверждение справедливо и при

.

Доказательство этих теорем можно найти, например в

и .