Материал: Введение в мат.анализ

, а

. Разделим промежуток

пополам точкой

.

Если окажется, что

, то точка

найдена. Пусть

; тогда

или

. В первом случае функция

принимает значения разных

знаков на концах промежутка

, во втором случае

на концах промежутка

.

Выберем тот промежуток, на концах которого функция принимает значения разных

знаков, и обозначим его через

. Тогда

,

,

и

.

Далее повторяем эту процедуру для промежутка

. Если

, то

получаем промежуток

- такой, что

,

,

и

.

Если окажется, что

, то точка

найдена.

,

,

и

при

.

Согласно Лемме о вложенных промежутках (см. §9 главы 3) все эти промежутки

имеют единственную общую точку , причем

. Докажем, что эта точка

искомая.

Перейдем к пределам при

в неравенствах:

,

.

Тогда получим:

,

.

Используя непрерывность функции

в точке :

и

получим:

и

, но это возможно лишь,

если

. Теорема доказана.

.

Пусть

многочлен нечетной степени.

Известно (см. §6 главы 4), что

и

. Так как многочлен

133

Пример 2 (из

). Найдем корень уравнения

с точностью до 0,01.

Пусть

. Вычисляя значения функции

в целочисленных

точках, мы увидим, что

,

Следовательно, непрерывная

функция

на концах промежутка

принимает значения разных знаков. Согласно

доказанной теореме на интервале

найдется точка, в которой функция обращается в

нуль, т.е. корень уравнения лежит внутри отрезка

.

Разделим отрезок

на 10 равных частей и вычислим значения

в точках

деления:

…;

…;

.

Так как

, то корень находится внутри отрезка

.

Разделим теперь этот отрезок на 10 равных частей и вычислив значения

в

точках деления, получим:

…;

Это значит, что корень

лежит внутри промежутка

.

Таким образом, с точностью до 0,01 корень данного уравнения равен

.

Теорема 2.

Пусть функция

определена и непрерывна на отрезке

. Если функция на

концах промежутка принимает неравные значения:

, то она принимает и

любое промежуточное значение между

и

:

,

или

:

.

Доказательство.

Возьмем любе число

, лежащее между

и

, и введем новую функцию:

.

Функция

на концах промежутка принимает значения разных знаков,

действительно:

, так как либо

и

, либо

и

. Кроме того, функция

непрерывна

на

как разность двух непрерывных функций.

По первой теореме Больцано-Коши найдется точка внутри промежутка, в которой

функция

обращается в нуль, т.е.

:

, а это означает, что

.

Теорема доказана.

134

Если функция

определена и непрерывна на отрезке

, то она ограничена

на этом отрезке, т.е.

.

Доказательство.

Предположим, что функция

не ограничена на

. В таком случае для

каждого натурального числа

найдется в промежутке

такое значение

, что

. Тем самым получаем ограниченную последовательность чисел

, для которой

при

.

По Лемме Больцано-Вейерштрасса (см. §11 главы 3) из последовательности

можно выбрать сходящуюся подпоследовательность

:

при

.

Так как

, то

, т.е.

Следовательно,

определено значение

.

Из непрерывности функции

в точке имеем:

при

,

т.е. подпоследовательность

стремится к конечному пределу и значит, она

ограничена. Но, с другой стороны:

при

и значит, она не ограничена.

Вторая теорема Вейерштрасса (о наибольшем и наименьшем значении функции).

Теорема 4.

Если функция

определена и непрерывна на отрезке

, то она достигает в

этом промежутке своего наибольшего и своего наименьшего значений:

,

.

Доказательство.

По первой теореме Вейерштрасса множество значений функции

ограничено.

Следовательно, у этого множества существует

и

(см. §10 главы 1).

Введем

обозначения:

,

.

Надо доказать, что

и

достигаются, т.е.

и

. Докажем первое утверждение.

Предположим, что это не так, т.е.

выполнено неравенство:

.

Рассмотрим функцию

. Функция

определена и непрерывна на

как отношение двух непрерывных функций с не обращающимся в нуль знаменателем.

Кроме того, эта функция положительна. По первой теореме Вейерштрасса функция

ограничена, т.е.

:

выполнено неравенство:

.

Тогда получим:

. Это означает, что число

является верхней границей множества

, причем

.

Но это противоречит тому, что

- наименьшая верхняя граница

. Полученное

противоречие доказывает, что не может выполняться неравенство

.

Следовательно,

.

Следствие.

Если область определения

непрерывной функции

есть некоторый

промежуток, то область значений

также представляет собой некоторый промежуток.

Доказательство.

это ограниченный замкнутый промежуток, а интервал это ограниченный открытый

промежуток.

Рассмотрим случай, когда

представляет собой отрезок. Докажем, что тогда

также является отрезком.

Пусть

непрерывная функция в области определения

. По

теоремам Вейерштрасса

, причем

и

.

Если

, то по теоремам Больцано-Коши функция

принимает все

промежуточные значения между

и

. Это означает, что область значений

функции

представляет собой отрезок:

.

Если

, т.е.

, то наименьшее значение функции совпадает с его

наибольшим значением; тогда

постоянная функция. В этом случае

отрезок,

вырожденный в точку .

Таким образом, доказано, что если

отрезок, то и также отрезок. Другими

словами:

непрерывный образ отрезка есть отрезок .

Аналогично доказывается утверждение и для других видов промежутков.

Замечание 1. Для промежутков, отличных от отрезков, уже нельзя утверждать, что

и

всегда будут промежутками одного вида. Например, если

интервал, то

не

обязательно будет интервалом.

В качестве примера рассмотрим функцию,

полученную сужением функции

на интервал

.

Здесь

, а

.

Например, для функции

(см. Пример 1 из §2) имеем:

промежуток, а

не является промежутком.