Материал: Введение в мат.анализ

136

§ 5.

Монотонность и непрерывность функций.

Рассмотрим функцию

с областью определения .

Теорема 1.

Если

промежуток и

монотонна на , то функция

либо

непрерывна на , либо имеет лишь точки разрыва 1 рода.

Доказательство.

Пусть для определенности функция

возрастает на и

произвольная

внутренняя точка промежутка . Тогда при

выполняется неравенство:

, а при

неравенство:

, т.е. функция ограничена сверху

при

и ограничена снизу при

. Согласно теоремам

из §11

главы 4 существуют конечные пределы:

и

,

при этом выполняются неравенства:

(предельный переход в неравенстве, см. §2 главы 4).

Если

, то

точка непрерывности функции

; если

, то

точка разрыва 1 рода.

Для случая, когда

левый конец промежутка, имеем:

, а когда

правый конец промежутка, имеем:

. В этих случаях имеем либо

Критерий непрерывности монотонной функции.

Теорема 2. Пусть

монотонная функция на области определения , где

промежуток. Тогда для непрерывности функции

на

необходимо и достаточно,

чтобы область значений

была также промежутком.

Доказательство.

1) Необходимость. Если

непрерывная функция на

, где

промежуток, то

согласно Следствию из §4 область значений

также представляет собой некоторый

промежуток.

2) Достаточность. Пусть область значений

промежуток; это означает, что какое бы

такое значение

, в котором

. Возьмем произвольную точку и

докажем, что

точка непрерывности функции

.

Предположим, что

точка разрыва функции

и

внутренняя точка

т.е. существуют конечные пределы

,

и

. Само

значение функции в этой точке лежит между этими пределами:

, если

возрастающая функция или

, если

убывающая функция.

Тогда какое бы ни взять число

между

и

,

, не

существует ни одного значения , в котором

.

весь интервал между

и

кроме значения

не входит в это множество.

В случае, когда

граничная точка

Непрерывность обратной функции.

Рассмотрим строго монотонную функцию

с областью определения

и

областью значений . Для нее существует обратная функция

(см. §6 главы 2) с

областью определения

и областью значений .

Лемма. Если функция

строго возрастающая, то и обратная функция

также

строго возрастающая; если функция

строго убывающая, то и обратная функция

также строго убывающая.

Доказательство.

Пусть

строго возрастающая функция на

; тогда

,

.

Возьмем произвольные значения

,

,

; докажем,

что

. Предположим, что это не так, т.е.

.

Если

, то

, что невозможно.

Если

, то

, что также невозможно.

Аналогично для случая строго убывающей функции

. Лемма доказана.

Теорема 3.

Пусть

строго монотонная функция на

, где

некоторый промежуток.

Тогда если

непрерывна на , то обратная функция

непрерывна на .

Доказательство.

Так как

непрерывна на промежутке

, то по Теореме 2 множество

является промежутком. По Лемме функция

является строго монотонной функцией.

Таким образом, имеем строго монотонную функцию

, заданную на промежутке

и принимающую значения в промежутке

. Следовательно, по Теореме 2 функция

непрерывна на

.

Теорема доказана.

Примеры.

1)

непрерывна на промежутке

непрерывна на

.

2)

непрерывна на промежутке

непрерывна на

.

3)

непрерывна на промежутке

непрерывна на

.

4)

непрерывна на промежутке

непрерывна на

.

Рассмотрим функцию

с областью определения . Пусть

промежуток,

точке

.

По определению (на языке -

) непрерывность функции в точке означает:

0

:

,

.

Непрерывность функции на всем промежутке

можно сформулировать

следующим образом:

,

0

:

,

.

Возникает вопрос: для функции

, непрерывной в промежутке , существует

ли, при заданном

, такое

, которое годилось бы для всех точек из промежутка

?

Если ответ на этот вопрос утвердительный, то функция называется равномерно

непрерывной на промежутке .

Определение 1. Функция

называется равномерно непрерывной на промежутке

,

если

0

:

,

.

Сформулируем равносильное определение.

Определение 2. Функция

называется равномерно непрерывной на промежутке

,

если

0

:

,

.

В определении говорится о любых двух точках

и из промежутка

, отстоящих

друг от друга на расстоянии, меньшем, чем

; при этом

зависит только от

(и не зависит

от того, в какой части промежутка

лежат точки

и

).

1)

,

.

Покажем, что функция

не является

равномерно непрерывной на промежутке .

Возьмем

; предположим, что

:

,

.

Но это невозможно, т.к. можно взять, например:

,

, тогда

,

и при достаточно больших

будет выполняться

неравенство

, т.к.

. Следовательно, наше предположение

неверно и функция

не является равномерно непрерывной на промежутке .

2)

,

.

Покажем, что функция

является равномерно непрерывной на промежутке .

Действительно,

0 возьмем

;

тогда

,

, т.е.

. Следовательно, функция

является равномерно непрерывной на промежутке .

3)

,

. График этой функции приведен в §1 главы 4.

Покажем, что функция

не является равномерно непрерывной на промежутке .

Возьмем

,

,

; тогда

,

,

1,

.

140

Здесь мы видим, что разность

может быть сколь угодно малой, а

разность функций по модулю

не может быть меньше

. Это означает, что

не является равномерно непрерывной на промежутке .

4)

,

, где

.

Покажем, что функция

является равномерно непрерывной на промежутке .

Используя неравенство:

(см. §5 главы 4), можно записать:

.

тогда

Для произвольного числа

0

возьмем

;

,

.

Это и означает равномерную непрерывность функция

на промежутке .