Материал: Введение в мат.анализ
141
Глава 6. Комплексные числа.
Содержание
§ 1. |
Определение комплексных чисел ………………………………………………… 142 |
|
§ 2. |
Геометрическое представление комплексных чисел ……………..……… 148 |
|
§ 3. |
Основные множества на комплексной плоскости |
………………..……… 150 |
§ 4. |
Тригонометрическая форма комплексного числа |
………………………… 157 |
§5. Возведение комплексного числа в целую степень ………………………… 160
§6. Извлечение корня из комплексного числа ……………………………………… 164
§ 7. Предел последовательности комплексных чисел ………………………… 169 § 8. Показательная форма комплексного числа ………………………………… 172
142
§ 1. Определение комплексных чисел.
Комплексное число - это упорядоченная пара вещественных (действительных)
чисел, называемых его компонентами: |
|
, где |
. |
Для того чтобы полноправно называть эти пары «числами», нужно уметь их складывать и вычитать, умножать и делить. Для этого нужно сформулировать законы (аксиомы) этих действий, а также ввести понятие равенства этих пар.
I. Пары и считаются равными тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты:
.
II. Суммой пар |
|
и |
называется пара |
, т.е. |
|
|
|
|
|
. |
|
III. Произведением пар |
и |
называется пара |
, т.е. |
||
|
|
|
|
|
. |
IV. Пара |
отождествляется с вещественным (действительным) числом : |
||||
|
|
|
|
. |
|
В частности: |
, |
|
и т.д. |
|
|
Проверим, не противоречит ли аксиома 4 «обычным» законам действий над вещественными числами.
I. |
|
|
. |
II. |
|
|
. |
III. |
|
|
. |
Как видим, противоречия с «обычными» законами действий над вещественными числами здесь нет.
Из аксиомы IV следует, что вещественные (действительные) числа можно рассматривать как частный случай комплексных чисел (с нулевой второй компонентой).
Следствие 1. Пусть - произвольное вещественное число, тогда справедливо равенство:
.
Действительно: |
|
|
. |
В частности: |
, |
, |
и т.д. |
143
Следствие 2. |
. |
Действительно: |
|
.
Легко проверить, что привычные нам свойства действий над вещественными числами сохраняются и при переходе к комплексным числам.
Свойства действий.
1. Коммутативность сложения:
.
2. Ассоциативность сложения:
.
3. Свойство нуля при сложении чисел:
.
4. Существование противоположного числа:
.
5. Коммутативность умножения:
.
6. Ассоциативность умножения:
.
7. Дистрибутивность:
.
8. Свойство единицы при умножении чисел:
.
9. Существование обратного числа: |
|
|
|
|
|
|
|
||
если |
, то |
- такое, что |
|
|
. |
||||
Действительно, так как |
|
|
|
, то |
|
, |
|||
|
|
|
|
||||||
т.е. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
144
После введения действий сложения и умножения комплексных чисел можно ввести действия вычитания и деления как обратные к действиям сложения и умножения:
,
где .
Таким образом, определены все 4 арифметических действия над комплексными числами, причем свойства этих действий аналогичны свойствам действий над вещественными числами.
Множество всех комплексных чисел обозначается буквой :
.
Так как вещественные числа являются частным случаем комплексных чисел, то
множество всех вещественных чисел |
является подмножеством множества всех |
|||
комплексных чисел: |
. |
|
|
|
Если |
, то первая компонента комплексного числа |
называется вещественной |
||
частью этого числа и обозначается |
, а вторая компонента называется его мнимой |
|||
частью и обозначается |
: |
|
|
|
|
|
|
, |
. |
Заметим, что и мнимая часть и вещественная часть комплексного числа являются |
||||
вещественными числами: |
, |
. |
|
|
Замечание. |
|
|
|
|
Множество вещественных чисел |
является упорядоченным множеством (так же, |
|||
как и множества |
, и ), т.е. на этих множествах введены отношения « » (меньше) и |
|||
« » (больше). |
|
|
|
|
В отличие от них, множество комплексных чисел не является упорядоченным. Это означает, что комплексные числа не сравнимы между собой, т.е. нельзя сказать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше другого.
Мнимая единица. |
|
|
|
|
|
Комплексное число |
называется мнимой единицей. |
||||
Мнимая единица обладает уникальным свойством: |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Действительно: |
|
|
|
|
. |
Следствие 3. |
|
|
|
|
|
Для любого |
справедливы формулы: |
|
|||
; |
; |
; |
. |
||
Действительно: |
|
|
|
|
|
|
; |
|
; |
; |
|
|
|
|
; |
|
. |
145
Алгебраическая форма комплексного числа.
Пусть |
|
|
- комплексное число; представим его в следующем виде: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
Запись вида: |
|
|
|
- называется алгебраической формой комплексного числа |
, |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
при этом |
, |
|
, т.е. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
Например: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
; |
|
|
|
. |
||||||
Комплексные числа вида: |
|
- называются чисто мнимыми числами. |
||||||||||||
Комплексно-сопряженные числа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Комплексные числа |
|
|
и |
|
|
|
|
- называются |
||||||
|
|
|||||||||||||
комплексно-сопряженными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Например: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
; |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Результатом умножения двух ненулевых комплексно-сопряженных чисел всегда будет вещественное и положительное число (см. Следствие 2):
.
Действия с комплексными числами в алгебраической форме.
Используя аксиомы , а также свойства арифметических действий , можно выполнять арифметические действия с комплексными числами в алгебраической форме.
Пусть , .
- Сложение и вычитание комплексных чисел.
,
.
- Умножение комплексных чисел.
используем формулу |
. |
- Деление комплексных чисел.
числитель и знаменатель дроби умножим на число сопряженное знаменател
.