Материал: Введение в мат.анализ

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

146

Пример 1.

Выполнить действия:

и записать

результаты в алгебраической форме, если

Решение.

;

Пример 2.

Вычислить

и записать результат в алгебраической форме.

Решение.

Применим формулы сокращенного умножения:

;

Тогда получим:

При действиях с комплексными числами в алгебраической форме может оказаться полезной следующая формула: .

Свойства комплексно-сопряженных чисел.


1.	;		2.	; 3.		; 4.		;
1.	;		2.	; 3.		; 4.		;
5.		;	6.		. 7.		.

147

Доказательство свойств.
1.	,				.
1.	,				.
2.			.
2.			.
3.				.
3.				.
4.		.


5.					;
5.					;

6.				;	.
					.

7.						так как		.
7.						так как		.

Замечание.

Свойства 5 и 6 справедливы для любого конечного числа слагаемых и конечного числа множителей:

5’.

6’.

В частности, при имеем:

так как

Следствие 4.

Пусть

- многочлен от комплексной

переменной с вещественными коэффициентами ,

. Тогда

Доказательство.

так как

. Следствие доказано.

148

§ 2. Геометрическое представление комплексных чисел.

Введем для удобства новые обозначения для комплексных чисел:

	,	,	.
Возьмем на плоскости прямоугольную систему координат				. Тогда каждое
комплексное число		может быть изображено на этой плоскости точкой
или радиус-вектором		, координатами которых являются вещественная и
мнимая компоненты этого числа.
Очевидно, и обратно	каждой точке		на плоскости или радиус-вектору

соответствует вполне определенное комплексное число. В связи с этим рассматриваемую плоскость называют комплексной плоскостью.

	Вещественные числа	изображаются на оси , а чисто мнимые числа
	изображаются точками на оси . Поэтому ось абсцисс называют
вещественной осью, а ось ординат		мнимой осью. Начало координат соответствует
числу	.

Если комплексные числа изображать радиус-векторами, то сумме этих чисел будет соответствовать сумма векторов, а разности чисел - разность векторов.

Модуль и аргумент комплексного числа.

Наряду с прямоугольной системой координат введем также и полярную систему

координат на плоскости, принимая точку	за полюс, а вещественную ось за полярную
ось. Тогда полярными координатами точки	являются	- длина ее радиус-

вектора, и полярный угол , образованный положительным направлением полярной оси и радиус-вектором данной точки.

149

Величина называется модулем комплексного числа					и обозначается	;
величина называется аргументом комплексного числа и обозначается						.
Связь между прямоугольными и полярными координатами, как известно,
выражается следующими формулами:

	,	,		при	;
	,	,		при	;
если	, то		;
если	, то		;
при этом	,		(или		).

Следовательно, модуль и аргумент комплексного числа вычисляются по формулам:

	,				при	, где		.

	Аргумент комплексного числа определен не однозначно, так как угол между
двумя направлениями можно вычислять с точностью до слагаемых, кратных								.
	Множество всех значений аргумента комплексного числа обозначают							:
		,		, где		(или		).
	При этом	называют главным значением аргумента комплексного числа.
	Для вещественных положительных чисел					равен ; для вещественных
отрицательных чисел		равен	; для чисто мнимых чисел				равен		или	;

для	аргумент не определен.

Комплексно-сопряженные числа

и имеют

равные модули и противоположные аргументы:

			150
Пример.
Найти модуль и аргумент (его главное значение) комплексного числа			.
Решение.

		;
		;
		;
		.
		.

Ответ:	,	.

Расстояние между точками

комплексной плоскости	и	равно
модулю разности чисел	и	:
	.

Например, расстояние между точками	и		равно:

		.

Для любых комплексных чисел и справедливы неравенства треугольника:

Геометрический смысл этих неравенств заключается в том, что длина стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других его сторон, а разность длин двух сторон не превосходит длины третьей стороны.

Неравенство треугольника, очевидно, обобщается и на случай слагаемых в следующем виде:

§ 3. Основные множества на комплексной плоскости.

Рассмотрим характерные множества на комплексной плоскости, которые задаются некоторыми условиями (равенствами и неравенствами) и имеют важное значение при изучении теории функций комплексной переменной.

1. Окружности радиуса

- с центром в начале координат;

- с центром в точке .

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)