Материал: Введение в мат.анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

156

Пример 1.
	Изобразить на комплексной плоскости множество		.
	Изобразить на комплексной плоскости множество		.
Решение.
	Пусть	, тогда

;

Первое уравнение задает окружность с центром в точке

и радиуса

;

второе условие исключает точку

, лежащую на этой окружности. Изобразим

полученное множество на комплексной плоскости.

Ответ.

Окружность с центром в точке

и радиуса

, из которой удалена

точка

Пример 2.
Изобразить на комплексной плоскости множество
Решение.			.
			.

Множество	представляет собой пересечение двух множеств:			, где
	,	.
Множество	задается условием:		. Геометрически это
неравенство означает, что сумма расстояний от точки		до точек 1 и -1 не превосходит 4.

Как известно, множество точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух заданных точек есть величина постоянная, представляет собой эллипс с фокусами в заданных точках и большой осью, равной этой сумме.

Поэтому множество - это внутренняя часть эллипса, включая его границу. Фокусы этого эллипса находятся в точках 1 и -1 на вещественной оси, его большая ось равна , а малая ось равна ; соответственно большая полуось равна , а малая полуось

равна .

157

Множество задается неравенствами: . Это множество

представляет собой сектор, ограниченный осями координат и совпадающий с первой четвертью.

Множество	является общей частью множеств	и , т.е. совпадает с той частью
эллипса, которая лежит в первой четверти.
Ответ.
Первая четверть эллипса с каноническим

уравнением	.

§ 4.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Пусть

- комплексное число, не равное нулю,

- его модуль и

- его аргумент.

Из формул:

получаем:

Запись вида:

- называется тригонометрической

формой комплексного числа

, при этом

Например:

;

Для комплексно-сопряженных чисел и

тригонометрическая форма имеет вид:

Пусть

Равенство двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, определяется следующими условиями:

158

При выполнении арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и деления) над комплексными числами можно пользоваться и алгебраической и тригонометрической формой их записи.

Алгебраическая форма записи удобна при сложении и вычитании комплексных чисел, а тригонометрическая форма особенно удобна при умножении и делении комплексных чисел (а также при возведении в степень и извлечении корня). Покажем это.

Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.

Пусть	,	.
Найдем их произведение.

Итак,

, где

Таким образом, получаем следующее правило.

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:

			,
(здесь вместо		пишем	и равенство понимаем как равенство множеств).
Геометрически это означает,
что произведение		получается поворотом
вектора на угол, равный			, и изменением
модуля вектора	в	раз.

Очевидно, что это правило распространяется на произведение любого конечного числа сомножителей:

Пример 1.

159

Пример 2.

,						,

Пусть

Найдем частное

Итак, , где , .

Таким образом, получаем следующее правило.

При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются:


(здесь вместо		пишем		и равенство понимаем как равенство множеств).
Геометрически это означает,
что частное	получается поворотом


вектора на угол, равный				, и
изменением модуля вектора			в	раз.

Пример 3.

160

§ 5. Возведение комплексного числа в целую степень.

Пусть	натуральное число	. Тогда по определению:		.
				раз
Из формул предыдущего параграфа:
		,
при	получаем:
	,		, т.е.
при возведении комплексного числа в натуральную степень				модуль

комплексного числа возводится в эту степень, а его аргумент увеличивается в				раз.
Формула Муавра.
Пусть	,	; тогда	,
.	Следовательно:			.

Получаем формулу Муавра:

, .

Введем понятие степени с нулевым и с целым отрицательным показателем для комплексных чисел так же, как и для вещественных чисел:

,, .

Покажем, что формула Муавра верна для всех целых значений показателя степени.

Таким образом, имеем:

формула Муавра.

В частности

;

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)