Материал: Введение в мат.анализ

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

166

где

неизвестная величина, а

заданное вещественное число

Если

, то

пусть

, тогда

;

Итак:

;

Например:

;

Рассмотрим полное квадратное уравнение вида:

где

неизвестная величина;

- заданные вещественные числа

Пусть

- дискриминант квадратного уравнения.

Полное квадратное уравнение равносильно уравнению следующего вида:

Используя решение простейшего квадратного уравнения, можно сформулировать

следующий результат.

Если

, то квадратное уравнение имеет только вещественные корни:

;

если

, то квадратное уравнение имеет комплексные корни:

Например:

Извлечение квадратного корня из комплексного числа.

Выведем формулу для квадратного корня из комплексного числа, заданного в

алгебраической форме.

Пусть

;

тогда

;

Таким образом, имеем:

где

. Выразим

через значения и .

Из формулы:

- получаем:

167

;

Можно считать, что

(случай

- рассмотрен выше).

Так как

, то

Если

, то

;

если

, то

Следовательно:

Таким образом, получаем формулу:



			, где	.
			, где	.

Примеры.
4).	здесь				.




5).		здесь		.

Решение квадратного уравнения с комплексными коэффициентами.

Рассмотрим квадратное уравнение:

где неизвестная величина; - произвольные комплексные числа ; пусть - дискриминант квадратного уравнения. Теперь дискриминант может быть

вещественным или комплексным числом.

Формула корней квадратного уравнения с комплексными коэффициентами имеет такой же вид, как и в случае вещественных коэффициентов:

но здесь под выражением

понимаются все (два) значения квадратного корня.

Пример 6.

Решить уравнение:

Здесь

;

(см. Пример 5).

, .

168

Корни из единицы.

Для числа , как и для всякого отличного от нуля комплексного числа, существует

ровно значений корня - й степени. Так как										, то для корней			- й
степени из имеет место формула:
										.

Все корни из единицы имеют модуль,
Все корни из единицы имеют модуль,
равный ; поэтому точки на комплексной
плоскости, изображающие эти корни,
лежат на единичной окружности с центром
лежат на единичной окружности с центром
в начале координат и делят эту окружность
на равных частей, образуя дуги с
центральным углом, равным .				Один из
этих корней (при		) совпадает с числом .
Все корни	-й степени из				являются корнями уравнения:
						.
При малых значениях							корни уравнения можно найти
непосредственно, решая это уравнение. При больших значениях										все корни уравнения
можно найти только из формулы для корней - й степени из .
Пример 7.
1).						, или по формулам:
											.
2).											.	,


или по формулам:
								,
														,
														,
									.



3).										,
или по формулам:
		,						,		,
										,

.
.
Пример 8.
Решить уравнение:			.

169

Все корни этого уравнения - это корни -й степени из

Замечание.

В тригонометрии известна формула:

Используя это значение, можно выразить все корни уравнения

через

радикалы, например:

см

§ 7. Предел последовательности комплексных чисел.

Понятие предела.
Рассмотрим последовательность комплексных чисел						, где	,
и пусть		.
Определение.	Комплексное число		называется пределом последовательности
, если для любого положительного числа существует такое натуральное число							,
что все значения , у которых номер			, удовлетворяют неравенству:				.
Обозначения:		,		,	,	.
При этом говорят, что последовательность				сходится (стремится) к числу
(при , стремящемся к ). Запишем определение предела в символической форме:
						.
Другими словами, определение предела последовательности комплексных чисел
равносильно следующему определению:
				.
Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся, в
противном случае она называется расходящейся.
Аналогично вводятся понятия бесконечно малых						и бесконечно
больших	величин:
		,				.

Замечание.

В отличие от последовательности вещественных чисел здесь не определено понятие бесконечно большой величины с определенным знаком или , так как для комплексных чисел нет понятий положительного или отрицательного числа.

Теорема 1.
Для того чтобы последовательность	стремилась к пределу
, необходимо и достаточно, чтобы последовательности		и	стремились,
соответственно к пределам и :

170

Доказательство.

Так как

то справедливы следующие неравенства:

Из неравенства:

- следуют неравенства:

а из неравенств:

- следует неравенство:

Это и означает равносильность сходимости последовательности

и сходимости

последовательностей и

. Теорема доказана.

Из теоремы следует справедливость равенства:

Таким образом, исследование последовательности комплексных чисел может быть заменено исследованием двух последовательностей вещественных чисел. При этом все основные теоремы о пределах для вещественной переменной будут справедливы и для комплексной переменной.

Пример 1.

Пример 2.

, где

. Последовательности

предела не имеют.

Следовательно,

- не существует.

Пример 3.

где

- из Примера 2.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)