Материал: Введение в мат.анализ

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

													176
								;
								.
								.
Замечание.
	Указанные свойства логарифма								комплексного числа, как видим, идентичны
свойствам аргумента						комплексного числа.
Степень с произвольным основанием.
	Пусть		,		; введем понятие степени с основанием .

	По определению считаем:									.
	Если			, то				.
Пусть		,					, тогда
												,	.
												,	.
	Как видим, формула для вычисления степени с произвольным основанием
достаточно громоздка. Поэтому лучше вычислить сначала значение												, а затем	.
Примеры.
8).									, .
9).



10).								,				.





											,	.


11).												, .

177

Глава 7. Алгебраические многочлены и рациональные дроби.

Содержание

§1. Алгебраические многочлены ………………………………………………………… 178

§2. Разложение многочлена на множители …………………………………..……… 182

§3. Многочлены с вещественными коэффициентами …………………..……… 183

§4. Рациональные дроби ……………..……………………..……………………..……… 186

178

§ 1. Алгебраические многочлены.

Основные понятия.

	Алгебраическим многочленом от комплексной переменной							называется
выражение вида:
							,
где	,		комплексная переменная, ,				, …,	заданные
комплексные числа (коэффициенты многочлена).
	Если	, то	называется многочленом степени				и обозначается		; для
степени многочлена принято обозначение					:		.
	Если	, то многочлен		называется приведенным.
	В частности:
	- многочлен нулевой степени					постоянная функция;
	- многочлен первой степени					линейная функция;
	- многочлен второй степени						квадратичная функция.
	Два многочлена							и
						называются равными, если их
степени совпадают и равны все коэффициенты при одинаковых степенях :
						.

Над многочленами можно производить действия: сложение, вычитание, умножение. В результате этих действий получается снова многочлен:

;

В отличие от действий сложения, вычитания и умножения многочленов действие деления выполнимо не всегда. В этом отношении множество многочленов напоминает множество целых чисел . Но так же, как и для целых чисел, для многочленов всегда определена операция деления с остатком.

Пусть даны многочлены:

			,				.
Если существует многочлен			такой, что выполнено равенство:
				,
то говорят, что многочлен		делится на многочлен			(без остатка); при этом
делимое,	делитель, а	называется частным от деления				на	.
Если существуют многочлены			и	такие, что выполнено равенство:

			179
	,
где степень многочлена	меньше степени многочлена	, то многочлен
называется неполным частным от деления многочлена		на многочлен	, а

называется остатком при этом делении.

Известно, что задача деления с остатком для многочленов всегда имеет решение (если делитель не равен нулю) и оно единственно (см. ).

Деление многочленов обычно выполняют по схеме «деления уголком».

Примеры.
1).	,	;

	- неполное частное, а			- остаток от деления.
Замечание.
Если степень	меньше степени		, то неполное частное равно нулю, а
остаток от деления совпадает с		:
			.
Значение многочлена.
Для того чтобы вычислить значение многочлена				при	, нужно
выполнить следующие действия:
- возвести комплексное число		в степени с натуральными показателями;

-умножить полученные значения на коэффициенты многочлена;

-сложить полученные выражения.

В результате получится некоторое комплексное число, которое называется

значением многочлена при и обозначается .

180

Например:	,	.
Если в результате вычислений получается значение		, то называется корнем
многочлена:
	корень многочлена	.

По поводу существования корней многочлена есть замечательная теорема.

Основная теорема алгебры.

Любой многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один комплексный корень.

Заметим, что для множества действительных чисел такого утверждения нет. Например, многочлен действительных корней не имеет.

Основная теоремы алгебры доказывается в разделе Теория функций комплексной переменной (ТФКП) (см. ).

Если при всех значениях многочлен			обращается в ноль, то такой многочлен
называется тождественно нулевым,		и пишут:		.
Теорема 1.
Для того чтобы многочлен		был тождественно равен нулю, необходимо и
достаточно, чтобы все его коэффициенты были равны нулю:
				.
Доказательство.
Если	, то					,
т.е.	.
Пусть	; докажем, что в этом случае выполнено:					.
Так как значение многочлена		равно нулю при любом			, то и при	также
равно нулю:
						.
Следовательно:

		(включая и		)	и так далее.
Продолжая эти рассуждения, получим, что					. Теорема доказана.
Следствие.
Значения двух многочленов						и
		тождественно совпадают тогда и только
тогда, когда совпадают все коэффициенты при одинаковых степенях :
		,		.
Доказательство.
Составим новый многочлен, равный разности многочленов					и	:
						.

- частное от деления


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)