Материал: Введение в мат.анализ

181

Тогда

и по Теореме 1 имеем:

,

, … ,

.

Следствие доказано.

Замечание.

Очевидно, что тождественное равенство многочленов с произвольными

степенями

и

возможно лишь при равенстве их степеней:

.

Другими словами, Следствие равносильно следующему утверждению:

,

т.е. многочлены тождественно совпадают тогда и только тогда, когда они равны.

Деление многочлена на линейный двучлен.

Пусть

,

,

, где

произвольное комплексное число.

Разделим многочлен

на двучлен

:

,

где

.

Итак, получаем тождество:

.

Если подставить в это равенство

, то получим:

.

Таким образом, остаток от деления многочлена

на

равен значению

многочлена

:

.

Теорема Безу.

Для того чтобы многочлен

делился на

, необходимо и достаточно,

чтобы было корнем многочлена

.

Доказательство.

Необходимость. Пусть многочлен

делится на

:

, тогда

, т.е.

корень многочлена

.

Достаточность. Пусть

, тогда из равенства

получим:

, т.е. многочлен

делится на

.

Теорема доказана.

Следовательно, по теореме Безу:

, где

многочлен степени

; обозначим его через

. Тогда получаем равенство:

.

Если

, то опять же по основной теореме алгебры многочлен

имеет, по крайней мере, один комплексный корень . Значит, по теореме Безу:

, где

многочлен степени

; обозначим его через

. Тогда получаем равенства:

.

Продолжая этот процесс, мы дойдем на - м шаге до

и получим

разложение многочлена на линейные множители:

.

Из этого разложения видно, что

,

, … ,

корни многочлена

:

,

,

…,

,

причем других корней у многочлена

нет. Так как среди чисел

,

, … ,

могут

быть равные, то можно утверждать, что:

у любого многочлена степени

может быть не более чем

корней.

Пусть среди корней

,

, … ,

многочлена

число

встречается

раз,

число

встречается

раз, …,

число

встречается

раз, где

. Тогда

разложение многочлена на множители примет следующий вид:

.

В этом разложении

,

,

.

При этом число

называется корнем кратности

, число

называется корнем

кратности

, … , число

называется корнем кратности .

Если

, то

называется простым корнем; если

, то

называется

кратным корнем многочлена.

Условимся далее считать каждый корень многочлена столько раз, какова его

кратность. Тогда справедливо утверждение:

любой многочлен степени имеет ровно

корней (с учетом их кратности).

Примеры.

1).

;

здесь

- корень кратности ;

- корень кратности

;

- простой корень,

- степень многочлена.

2). Разложить на линейные множители многочлен

.

Здесь

- простой корень,

- корень кратности ;

- корень

кратности ;

- степень многочлена.

Число

называется корнем кратности многочлена

, если этот многочлен

можно представить в виде:

,

где

натуральное число, а

некоторый многочлен и

.

Например, если

, то

- корень кратности

многочлена

, так как

- многочлен и

.

§ 3.

Многочлены с вещественными коэффициентами.

Рассмотрим алгебраический многочлен от комплексной переменной с

вещественными коэффициентами:

,

где

,

, ,

, …, .

Для таких многочленов справедливо свойство (см. § 1 главы 6):

,

где

- комплексно-сопряженное числу

.

Следовательно, если

- комплексный корень многочлена

, то

- тоже

корень этого многочлена. Действительно:

,

- корень

.

Докажем более общее утверждение.

Теорема.

Если - комплексный корень многочлена

кратности

, то

- тоже корень

этого многочлена кратности .

184

Доказательство.

Пусть

- корень многочлена

кратности , т.е.

,

где

некоторый многочлен и

. Тогда имеем:

.

По свойству комплексно-сопряженных чисел (см. § 1 главы 6) имеем следующие

равенства:

.

Пусть

- это некоторый многочлен, причем

.

Тогда получим:

, где

- некоторый многочлен и

.

А это означает, что

- корень кратности многочлена

. Теорема доказана.

если

- корень многочлена

кратности , то

- тоже корень

многочлена

кратности (говорят, что комплексные корни «ходят в гости» парами).

Это означает, что в разложении многочлена

,

где и

- вещественные числа,

,

;

при этом дискриминант

.

Обозначим через ,

… ,

- вещественные корни многочлена

кратностей,

соответственно

;

а через

,

, … ,

- пары комплексно -

сопряженных корней многочлена

кратностей, соответственно

.

Тогда получим разложение многочлена

на линейные и квадратичные

множители с вещественными коэффициентами:

,

где

,

,

.

Условие

- означает, что квадратичные множители не имеют

185

Пример 1.

Разложить многочлен

на множители с вещественными

коэффициентами.

Решение.

Корнями этого многочлена являются корни 5-й степени из единицы (см. Пример 8

из § 6 главы 6):

.

Среди них - один вещественный корень:

и две пары комплексно-

сопряженных корней:

,

.

Составим квадратичные множители

и

, где

,

,

,

.

Ответ.

.

имеющий следующие корни:

простой корень

; корень

кратности ; корень

кратности .

Решение.

Искомый многочлен имеет комплексно-сопряженные корни

кратности и

где

,

,

.