Материал: Введение в мат.анализ

см Пример

.

Пусть

,

,

где

модуль

,

модуль ,

,

;

- главное значение аргумента

,

- главное значение аргумента ,

т.е.

(или

).

Теорема 2.

Справедливо следующее утверждение:

.

Доказательство.

Пусть

и

, тогда

и

в силу

непрерывности функций

и

, а также

,

по

свойству предела произведения. Тогда

Пусть теперь

, т. е.

,

. Тогда

, значит

в силу непрерывности функции

.

Получаем:

и

.

Так как

и - главные значения

аргумента, и учитывая непрерывность обратных тригонометрических функций

и

, то очевидно, что

.

Теорема доказана.

Пример 5.

Найти

, где

.

Перейдем к тригонометрической форме комплексного числа:

, где

.

Так как

, то

(по Теореме 2). Далее:

,

,

,

.

,

,

,

.

о таблице эквивалентностей

при

. Итак,

.

Далее:

.

По таблице эквивалентностей

при

.

Таким образом:

,

, т.е.

или:

, где

.

Для вещественных чисел

была выведена формула (см. глава 4,

§10):

,

которая позволяет возводить число в любую вещественную степень.

По аналогии с этой формулой возведение числа

в любую комплексную степень

- определим следующей формулой:

,

.

Как показано в §7, имеет место формула:

.

Таким образом, получаем:

.

Эта формула дает тригонометрическую форму комплексного числа , при этом

,

.

Например:

,

.

Заметим, что

, так как

.

Частные случаи:

если

, то

;

если

, то

.

- формула Эйлера.

Например:

,

,

,

.

Свойства комплексной степени числа .

1.

; 2.

; 3.

.

Доказательство.

Пусть

,

.

1.

;

.

2.

;

.

3.

.

Свойства доказаны.

Пусть комплексное число

задано в тригонометрической форме:

.

Используя формулу Эйлера, это же число

можно записать в виде:

.

Запись вида:

- называется показательной формой комплексного

числа , при этом

,

.

Например:

,

,

,

.

Для комплексно-сопряженных чисел и

показательная форма имеет вид:

.

Например:

.

Пусть

,

,

,

; тогда

Пример 1.

Вычислить

и

, где

,

.

Представим и

в показательной форме:

Тогда получим:

,

.

Пример 2.

Вычислить

, где

.

175

Логарифм комплексного числа.

Определение.

Логарифмом

комплексного числа

называется такое комплексное число

, для которого выполняется равенство:

.

Итак, по определению:

.

Из определения следует основное логарифмическое тождество:

.

Пусть

,

,

;

тогда

.

Следовательно:

,

или иначе:

.

Из этой формулы видно, что

имеет, как и

, бесконечное множество

значений. Одно из этих значений (при

) называется главным значением

и

обозначается

:

- главное значение логарифма.

При этом выполнено равенство:

.

Примеры.

4).

;

.

5).

;

.

6).

;

7).

.

;

.