Материал: Введение в мат.анализ

, где

.

Многочлен является частным случаем рациональной дроби при

.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше

степени знаменателя

, в противном случае

дробь называется

- неправильная дробь,

- целая часть, а

- правильная дробь.

.

,

.

,

.

,

.

,

где

заданные вещественные числа,

вещественная переменная,

натуральное число,

,

.

Условие

означает, что квадратичные множители в знаменателях

дробей не могут быть разложены в произведение линейных множителей с

вещественными коэффициентами.

Примеры простейших дробей:

- дробь

типа;

- дробь

типа;

- дробь

типа;

- дробь

типа.

Пусть

- правильная рациональная дробь и знаменатель

.

Тогда дробь

может быть разложена в сумму простейших дробей

типов, при этом:

- каждому простому множителю

соответствует простейшая дробь типа

;

- каждому кратному множителю

соответствует сумма простейших дробей

и

типов

;

- каждому простому множителю

соответствует простейшая дробь

типа

;

- каждому кратному множителю

соответствует сумма простейших дробей

и типов

.

При этом возникающие коэффициенты , , … ,

, , , … ,

- называются

неопределенными коэффициентами; они подлежат определению.

Доказательство этой теоремы можно найти в

.

Например:

,

;

,

;

,

;

,

.

Эти равенства справедливы при любых допустимых значениях

, т.е. представляют

собой тождества.

1)

.

.

Подставляя в это равенство значения

,

,

, получим:

;

;

.

Следовательно:

.

2)

.

.

Подставляя в это равенство значения

,

,

,

, получим:

;

;

;

;

.

Следовательно:

.

3)

.

.

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях

многочленов, стоящих

слева и справа от знака равенства, получим систему уравнений:

. Решая эту систему, получим:

.

189

Следовательно:

.

4)

.

.

Подставляя в это равенство значение

, получим:

.

Раскрываем скобки в правой части тождества:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях

многочленов, стоящих

слева и справа от знака равенства, получим систему уравнений:

. Решая эту систему, получим:

.

Следовательно:

.

Задачи к главе 1.

Основные понятия.

Доказать следующие утверждения методом математической индукции

:

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

,

1.8.

,

1.9.

,

1.10.

,

Найти суммы и произведения

:

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

1.15.

1.16.

Записать в виде обыкновенной несократимой дроби

:

1.17.

1.18.

1.19.

Для заданных множеств

и найти

,

, \ ,

\

:

1.20.

,

1.21.

,

1.22.

,

Вычислить (записать без знака модуля)

:

1.24.

1.25.

если

1.26.

если

Решить уравнения и неравенства с модулем

: