Материал: Введение в мат.анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

				116
2) Многочлены					и
			являются бесконечно большими величинами
одного порядка при		, если	, т.к.		(см. §6).
одного порядка при		, если	, т.к.		(см. §6).
Если	, то многочлен		является бесконечно большой величиной более
высокого порядка при		, чем	, т.к.
высокого порядка при		, чем	, т.к.
Если	, то многочлен		является бесконечно большой величиной более
высокого порядка при		, чем	, т.к.
высокого порядка при		, чем	, т.к.

§ 9. Эквивалентные бесконечно малые величины.

Пусть	и	две бесконечно малые величины при							:
		,		.
Определение. Бесконечно малые величины							и	называются
эквивалентными при		, если			.	Обозначение:

				при		.
Замечание. Эквивалентные бесконечно малые величины являются частным случаем
бесконечно малых одного порядка (				). Если		и	бесконечно малые одного
порядка при	:		, где		и	,	то	при	.

Из первого и второго замечательных пределов и их следствий (см. §6) получаем примеры простейших эквивалентных бесконечно малых величин:

при .

Свойства эквивалентных бесконечно малых величин.


Пусть	,	и	бесконечно малые величины при		. Из
определения эквивалентности бесконечно малых следуют очевидные свойства:
	1). Рефлексивность:			;

												117
		2). Симметричность:							;
		3). Транзитивность:										.
Теорема 1. Пусть			,				, … ,		,
,				, … ,				при	.			Тогда
											.
Доказательство.											.
Доказательство.
	Заметим сначала, что если						и			, то			.
	Заметим сначала, что если						и			, то			.
Действительно:				.
Действительно:

Введем обозначения:
Введем обозначения:
			,						,
			,						.
Остается доказать, что					и	.

Аналогично для

. Теорема доказана.

Согласно доказанной теореме при вычислении пределов произведений и частных бесконечно малые множители можно заменить их эквивалентностями.

Например:

при

Замечание. При вычислении пределов сумм и разностей замена бесконечно малых

слагаемых их эквивалентностями недопустима. Это может привести к неверным результатам.

Используя замечательные пределы (§7) и теорему о замене переменной (§2), можно составить следующую таблицу эквивалентностей.

Таблица замечательных эквивалентностей.

Пусть	бесконечно малая величина при		:
. Тогда
1)	,	6)	,
2)	,	7)	,

118

3)	,		8)	,
4)	,		9)		,

5)		,	10)	.

Пример.

при

Теорема 2. Для того, чтобы две бесконечно малые функции

были

эквивалентными при

, необходимо и достаточно, чтобы их разность

была бесконечно малой более высокого порядка, чем каждая из них:

при

Доказательство.

Пусть

; тогда

при

; аналогично:

при

Пусть

при

; тогда

;

аналогично в случае

при

Главная часть бесконечно малой функции.

Определение. Пусть

бесконечно малые функции при

± . Функция называется главной частью функции

при

→

±0, ± , если =

при

Из Теоремы 2 следует, что одна бесконечно малая является главной частью другой бесконечно малой при тогда и только тогда, когда они эквивалентны:

главная часть	при	при	.
Бесконечно малая функция может иметь бесконечно много главных частей.
Поэтому ищут эту главную часть обычно в виде степенной функции			, в
частности, при	Например:
при		при	;

119

при

;

при

;

при

;

при

;

при

;

при

;

при

;

при

;

при

;

Для бесконечно больших функций

при

также можно ввести понятие эквивалентности:

Примеры.

при

б.б.в. при

при

, т.к.

			.
			.
2)	Многочлен			и его первый член	б.б.в.
при	.
		при		, т.к.
					.
					.

§ 10. Раскрытие неопределенностей.

При вычислении пределов функций, как и пределов последовательностей, могут встретиться неопределенности (см. §7 главы 3), когда невозможно применить правила вычисления пределов (§4). Рассмотрим методы раскрытия некоторых неопределенностей.

1. Неопределенность типа		в отношении многочленов при	.

Здесь можно применить результат:

120

если

Например:

;

2. Неопределенность типа

в отношении алгебраических функций,

содержащих иррациональности при

Эта неопределенность раскрывается путем выделения старшей степени в числителе и знаменателе дроби.

Например:

3. Неопределенность типа

в отношении многочленов при

В этом случае многочлены в числителе и знаменателе дроби имеют корень

поэтому многочлены делятся нацело на

. Числитель и знаменатель следует

разложить на множители и сократить дробь на

Например:

4. Неопределенность типа	в отношении алгебраических функций,

содержащих иррациональности при	.
В этом случае надо также постараться сократить дробь на		. Для этого

следует преобразовать иррациональности так, чтобы появились многочлены, которые можно разложить на множители; один из множителей при этом будет

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)