Материал: Введение в мат.анализ

7)

.

8)

.

9)

;

;

, т.к.

бесконечно малая величина, как произведение 2-х б.м.в.:

,

и ограниченной

величины

. Следовательно:

Ответы. 1) ;

2) ; 3)

; 4)

; 5)

; 6) ; 7)

; 8)

; 9) .

Определение.

Последовательность

называется бесконечно большой

величиной (сокращенно: б.б.в.), если для любого положительного числа

можно указать

такой номер , что для всех значений

, у которых номер

, удовлетворяют

неравенству

:

б.б.в.

.

Другими словами, последовательность

называется бесконечно большой

величиной, если значения

по абсолютной величине

сколь угодно велики , начиная с

некоторого места , т.е. для всех достаточно больших номеров .

При этом говорят также, что последовательность

стремится к

(при

).

Обозначения для б.б.в.:

,

,

,

.

Замечание 1. Из определения б.б.в. следует:

б.б.в.

б.б.в.

б.б.в.

Замечание 2. Бесконечно большая величина

это расходящаяся последовательность, т.е.

последовательность, не имеющая конечного предела.

Примеры бесконечно больших величин.

Пример 1.

.

Здесь

.

Пусть

;

в качестве номера

можно взять целую часть числа

:

(если

, то возьмем

). Тогда

выполнено неравенство

.

Следовательно,

б.б.в.:

.

Пример 2.

,

.

Здесь

.

Пусть

;

в качестве номера

можно взять целую часть числа

:

(если

, то возьмем

). Тогда

выполнены условия:

, т.е.

.

Следовательно,

при

б.б.в.:

.

Пример 3.

,

. Здесь

.

Так как

б.б.в., то и

б.б.в.:

.

Пример 4.

,

.

Здесь

.

Покажем, что эта последовательность является бесконечно большой величиной.

Пусть

;

в качестве номера

можно взять целую часть числа

:

(если

, то возьмем

).

Тогда

выполнено:

.

Следовательно,

при

б.б.в.:

.

Если значения бесконечно большой величины, начиная с некоторого номера,

сохраняют знак

или

, то пишут:

,

или

,

.

;

.

Например:

(при

),

(при

),

(при

),

(при

),

(при

).

Геометрический смысл бесконечно большой величины заключается в том, что

точка, изображающая

на числовой оси, неограниченно удаляется от начала отсчета:

если

, то точка удаляется вправо,

если

, то точка удаляется влево,

если

, то точка неограниченно удаляется

б.б.в.

,

неограниченная величина

.

неравенство

не может выполняться для всех

, начиная с некоторого

места, т.к. значение

встречается для сколь угодно больших .

Связь между б.м.в. и б.б.в.

Теорема 1. Дана последовательность

, причем

для всех , начиная с

некоторого места. Тогда:

1) если

б.б.в., то

б.м.в.:

;

2) если

б.м.в., то

б.б.в.:

.

Символически это утверждение можно записать так:

и

.

Доказательство.

1) если

б.б.в., то по определению

.

Надо доказать, что

б.м.в., т.е.

.

Пусть

, возьмем

;

тогда

.

В качестве

можно взять

; тогда

. Получили, что

. Следовательно,

б.м.в.

2) если

б.м.в., то по определению

.

Надо доказать, что

б.б.в., т.е.

.

Пусть

, возьмем

;

тогда

.

В качестве

можно взять

; тогда

. Получили, что

. Следовательно,

б.б.в.

Арифметические операции над б.б.в.

Теорема 2. Даны последовательности

и

. Справедливы следующие утверждения:

1)

,

;

2)

,

;

3)

,

ограничена

;

4)

,

ограничена

;

5)

,

ограничена

;

6)

,

;

7)

,

, (

)

.

Доказательство этих утверждений можно найти, например, в

и .

Следствие. Дана последовательность

и

. Тогда справедливы следующие

утверждения:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

,

.

Примеры.

1)

, т.к.

и

.

2)

б б в

б м в

ограничена .

3)

, т.к.

,

ограничена.

4)

.

Предел многочлена.

Найдем предел многочлена

степени

:

,

.

. Здесь

, … ,

,

бесконечно малые

величины, поэтому выражение в скобках имеет предел, равный .

Введем обозначения:

,

.

Тогда

,

, (

). По теореме 2 имеем:

.

Причем, если

, то

, а если

, то

.

Таким образом:

если

.

если

75

Пусть

или

,

или

.

Случай, когда

и

конечны, разобран в §5, за одним лишь исключением, когда

рассматривается отношение

при

. Разберем сначала этот случай.

1)

,

,

.

Если