Материал: tsure108
16
Задача 5.10. Пусть в кристалле возможны следующие операции: 1) поворот вокруг оси 6 , совпадающий с осью z (6z );
2)поворот вокруг оси 2 , совпадающий с осью x (2x );
3)отражение в начале координат, как в центре симметрии (1).
Определить результирующую операцию при последовательном выполнении: а) 1, затем 2, затем 3; б) 1, затем 3, затем 2; в) 2, затем 1, затем 3; г) 2, затем 3, затем 1; д) 3, затем 1, затем 2; е) 3, затем 2, затем 1.
6. Предельные группы.
Точечные группы, содержащие оси симметрии бесконечного порядка, называются предельными группами симметрии или группами Кюри. Таких групп 7 и каждая из 32 точечных групп симметрии кристаллов является подгруппой по меньшей мере одной из них. Конечные геометрические фигуры, которые характеризуют группы Кюри представлены на рисунке . Условные обозначения элементов симметрии предельных групп на стереографических проекциях показаны на рисунке .
Принцип Неймана. Группа симметрии любого физического свойства кристалла должна включать в себя точечную группу симметрии кристалла.
Принцип Кюри. Кристалл, находящийся под влиянием внешнего воздействия, будет обладать теми элементами симметрии, которые являются общими для кристалла в отсутствие воздействия и воздействия в отсутствии кристалла. Другими словами, точечная группа
симметрии кристалла G в результате наложения возмущения с группой симметрии GB переходит в группу GΛ - общую подгруппу групп симметрии кристалла G и воздействия
GB :
GΛ = G IGB .
Задача 6.1. Определить группу симметрии однородного постоянного электрического поля Задача 6.2. Известно, что кристаллы кварца являются пьезоэлектрическими, т.е. поляри-
зуются под действием механических напряжений. Какие из ориентированных кварцевых пластинах: пластинки, перпендикулярные оси 3 или оси 2, следует выбрать в качестве чувствительных элементов пьезоэлектрических датчиков одноосного давления ?
Задача 6.3. К кубическому кристаллу с симметрией m3m приложили одноосное напряжение растяжения. Какой симметрией будет обладать кристалл, если напряжение прикладывается вдоль направлений: а) [001], б) [111], в) [110].
Задача 6.4. Кристалл с симметрией mm поместили в электрическое поле таким образом, что направление поля совпадало с направлением [001] и затем [010]. Найти симметрию
кристалла в обоих случаях.
Задача 6.5. Найти величину и направление вектора плотности тока (в координатной системе X1, X2, X3), возникающего в кристаллической пластинке площадью S и толщиной
d (
S >> d )под действием внешнего поля E , равного 150 В/см и приложенного в направлении
|
2 |
, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
,0 , если тензор удельной электропроводности кристалла в этой координатной |
||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
системе имеет вид |
|||||||
|
|
|
9 |
− 2 |
8 |
|
10−7 Ом−1см−1 |
|
|
|
|
||||
σij = |
− 2 16 0 |
|
|||||
|
|
|
8 |
0 |
25 |
|
|
Задача 6.6. Диэлектрическая проницаемость моноклинного кристалла в ортогональной системе координат задается тензором вида
10 5 0
5 20 0 .
0 0 30
как следует вырезать кристаллическую пластинку фиксированных размеров, обладающую наибольшей емкостью Задача 6.7. Определить величину двойного лучепреломления кварцевой пластинки, ори-
ентированной своей нормалью произвольным образом относительно оси X3 кристаллофизической системы координат (рис 5). Каким образом следует вырезать пластинку, чтобы она а) обладала максимальным двойным лучепреломлением, б) не обладала двойным лучепреломлением.
Рисунок 5 К задаче 6.7
Задача 6.8. Найти кристаллографические направления, по которым следует приложить электрическое поле к кристаллу с симметрией 6m2 , чтобы его симметрия понизилась: а) до тригональной 3m , б) до ромбической mm , в) до моноклинной m .
Задача 6.9. К кристаллу с симметрией 23 приложено электрическое поле вдоль направлений: а) [100], б) [110], в) [111], г) [hk0]. Найти симметрию кристалла в поле для каждого
из указанных способов наложения поля.
Задача 6.10. Какую симметрию приобретает однородная непрерывная изотропная среда в электрическом поле.
7. Пространственные группы симметрии.
Пространственной группой симметрии называется сочетание всех возможных преобразований симметрии кристаллической структуры. Каждая пространственная группа G представляет собой бесконечное множество элементов, которые описываются операторами
18
{e | 0}, {ϕ1 | t(ϕ1 )}, {ϕ2 | t(ϕ2 )}, …, {ϕk | t(ϕk )},
Здесь оператор {ϕ | t(ϕ )} действует на множестве радиус-векторов точек кристалличе-
ского пространства по правилу
{ϕ | t(ϕ)}ri =ϕri +t(ϕ) (7.1)
ϕ - оператор, который описывает изометрическую точечную операцию, совместимую с кристаллической решеткой, t(ϕ) - оператор параллельного переноса, который комбиниру-
ется с точечной операцией ϕ . |
|
Закон умножения операторов |
|
{ϕ t(ϕ)}{ψ t(ψ)}={ϕ ψ ϕt(ψ) +t(ϕ)}. |
(7.2) |
Основное бесконечное симметрическое преобразование – трансляция. Произведение трансляции на операцию отражения в плоскости симметрии порождаетr плоскость сколь-
зящего отражения. Если скольжение направлено вдоль осей a , b , cr то плоскости сколь-
зящего отражения обозначают символами a , b , c . Величина переноса равна половине периода трансляции вдоль плоскости. Скольжение может быть направленоr вдоль диагона-
ли параллелограмма, построенного на элементарных трансляциях ar, b , cr, лежащих в плоскости скольжения. Если при этом перенос производится на половину длины диагонали параллелограмма, плоскость обозначают символом n , если на четверть длины – символом d .
Произведение трансляции на поворот вокруг оси симметрии порождает винтовую ось симметрии. Винтовые оси могут быть порядков 2, 3, 4, 6. Обозначается винтовая ось цифрой с цифровым индексом: цифра указывает порядок оси, а частное от деления индекса на порядок оси дает величину переноса вдоль оси в долях элементарной трансляции. Различают левые и правые винтовые оси.
Таблица 4 Элементы симметрии структур кристаллов.
Оси
Вертикальные |
Горизонтальные |
|
Наклонные |
21 |
61 |
21 |
|
31 |
62 |
4 |
2 |
32 |
63 |
41 |
21 |
41 |
64 |
42 |
3 |
42 |
65 |
43 |
31 |
43 |
|
4 |
32 |
Таблица 5 Элементы симметрии структур кристаллов.
Плоскости
Вертикальные |
Горизонтальные |
Наклонные |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
m |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a,b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
b |
|
|
|
|
|
|
a,b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n, d |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Каждой точечной группе соответствует несколько пространственных групп. Чтобы из пространственной группы симметрии кристалла получить его точечную группу, следует уничтожить все трансляции и свести оставшиеся элементы симметрии в одну точку, т.е. получить операцию симметрии вида {ϕ | 0}.
Чтобы вывести из точечной группы пространственную группу необходимо перебрать все возможные сочетания элементов симметрии и решеток Браве. Так получают 230 пространственных групп. Символ пространственной группы содержит символ решетки Браве и международный символ точечной группы. При этом символы осей и плоскостей симметрии в символе могут изменяться на символы винтовых осей о скользящих плоскостей в соответствии с их наличием в данном конкретном кристаллическом пространстве.
Все множество пространственных разбивается на два подмножества – симморфные и несимморфные. Симморфные пространственные группы содержат в качестве подгрупп точечные группы симметрии, отвечающие классу, к которому принадлежит данная пространственная группа.
Задача 7.1. Изобразить на чертеже винтовую ось симметрии 3 порядка.
Задача 7.2. Выписать подмножество пространственных групп отвечающей точеной группе m3m .
Задача 7.3. Изобразить график пространственной группы P 2b1 .
Задача 7.4. Вывести пространственные группы связанные с триклинной сингонией. Задача 7.5. Определить точечную группу, соответствующую пространственной группе
P 2b1 .
Задача 7.6. Записать координаты всех точек правильной системы в кристаллографическом базисе через координаты одной произвольно заданной для пространственной группы
P 2b1 .
Задача 7.7. Выписать симморфные пространственные группы для тетрагональной сингонии.
Задача 7.8. Какие элементы симметрии присутствуют в пространственной группе Ibam . Задача 7.9. Найти результат произведения поворотов вокруг винтовой оси и отражений в скользящей плоскости.
Задача 7.10. Найти результат операции {mz tx (mz )}.
20
8. Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах.
Формула Вульфа-Брэгга для дифракции |
|
2d sinθ = nλ |
(8.1) |
здесь d - расстояние между плоскостями, θ - угол дифракции, λ - длина волны, |
n - це- |
лое число. |
|
Условия Лауэ для интерференции |
|
a(cosϕ −cosϕ0 )= hλ |
|
b(cosψ −cosψ0 )= kλ |
(8.2) |
c(cosη −cosη0 )= lλ |
|
связывают косинусы первичных углов и косинусы углов рассеяния. |
|
Структурный фактор рассеяния |
|
Jc = ∑ f j ei2π (x j h+y j k+z jl ) |
(8.3) |
j |
|
f j - атомный фактор рассеяния, x j , y j , z j - координаты атомов в базисе.
Задача 8.1. При заданном направлении и длине волны λ падающего пучка изобразить возможные направления векторов рассеяния при условии, что их длина волны постоянна, и соответствующие направления волновых векторов рассеянных волн Задача 8.2. Точечная симметрия кристалла – 222. Какие типы симметрии могут иметь лауграммы этого кристалла.
Задача 8.3. Первичный пучок рентгеновских лучей параллелен плоскости (100) кристалла
с точечной группой 42m . Какие типы симметрии лауэграмм возможны.
Задача 8.4. Дифрактограмма поликристаллического образца имеет отражения при сле-
дующих углах θ , град: 12,79; 14,81; 21,10; 25,00; 26,28; 30,74. Проверить принадлежит ли исследуемое вещество к кубической сингонии. Проиндицировать отражения дифрактограммы и определить параметр решетки.
Задача 8.5. Излучение с длиной волны λ = 4 10−3 нм распространяется вдоль оси [010]
кристаллической пластинки вольфрама. Построить узлы обратной решетки плоскости [010], сферу Эвальда и определить возможные направления дифрагированных пучков. Задача 8.6. Определить направляющие косинусы дифрагированного пучка при отражении от плоскости (hkl)при заданных направляющих косинусах для кубической решетки.
Задача 8.7. Пучок рентгеновских лучей направлен вдоль оси [100] кристалла меди. Определить положение дифракционных максимумов отраженных от плоскостей индексы зоны которой равны {111}.
Задача 8.8. Рассчитать структурный фактор для ОЦК.
Задача 8.9. При упругом рассеянии излучения с длиной волны λ = 0,07нм угол рассеяния
2θ = 60o . Какой импульс приобрела квазичастица от рассеивателя.
Задача 8.10. Рассчитать положение дифракционных максимумов при съемке образца Zn. Длина волны излучения λ = 0,07 .