Материал: tsure108

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	n	= p	(4.5)
	r	= p	(4.5)
	r
		r - порядок подгруппы R , p - индекс подгруппы.	gi .
Левый смежный класс относительно подгруппы R получают умножением слева элемента
gk		(gk G, gk R) на все элементы подгруппы R	- gk R . Правый смежный класс

группы G относительно подгруппы R получают перемножением всевозможных элементов gi R и gk таким образом, что gk является правым сомножителем, т.е. R gk .

Любую группу G можно разложить по подгруппе R , представляя ее групповое множество в виде объединения элементов правых или левых смежных классов:

G = e R g1 R g2 R K g p−1 R G = R e R g1 R g2 K R g p−1

Подгруппа называется инвариантной, если разложения на правые и левые смежные классы совпадают.

Две группы G и H изоморфные, если между элементами групповых множеств имеет место взаимно-однозначное соответствие, т.е. если элементам gi , g p G соответству-

ют элементы hk , hn H , то из g f = g p gi и hf	= hn hk	следует, что элементу g f
соответствует элемент hf .
Две группы G и H гомоморфные, если одному и тому же элементу			hi H могут
быть сопоставлены сразу несколько элементов	gi1 , gi2	K группы	G (порядок

группы G выше, чем порядок группы H ).

Циклические группы – это группы, обладающие одним генератором. Все элементы циклической группы представляют степени одного генератора.

Точечные преобразования симметрии – такие преобразования, при которых есть хотя бы одна неподвижная точка.

Таблица 3 Элементы симметрии клнечных фигур и их обозначения.

Название

Плоскость симметрии

Центр симметрии

симметрииОси	поворотные	двойная
симметрииОси	поворотные	тройная
		тройная

Обо-	Изображение по отношению к плоскости чертежа
значе-	перпендикулярное	параллельное
ние
между-
народ-
ное
m
1
2
3

			12
Название		Обо-	Изображение по отношению к плоскости чертежа
		значе-	перпендикулярное	параллельное
		ние
		между-
		народ-
	четвертная	ное
	четвертная	4
	шестерная	6
	тройная	3
иверсионные	четвертная	4
иверсионные	шестерная	6
	шестерная	6
Ось симметрии n-ого порядка – это поворот вокруг оси на угол 2π .
				n
Плоскость симметрии – плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные час-
ти.
Центр симметрии (центр инверсии) – точка внутри кристалла, в которой пересекаются
и делятся пополам все прямые линии, соединяющие противоположные точки поверх-
ности.
Инверсионная ось симметрии n-ого порядка - поворот вокруг оси на угол 2π					и после-
дующая инверсия.				n
дующая инверсия.					n - ось
Для обозначения кристаллографических классов (точечных групп) приняты:					n - ось
симметрии n -го порядка,		n - инверсионная ось симметрии n -го порядка, m - плоскость
симметрии,	nm - ось симметрии n-ого порядка и n плоскостей симметрии, проходящих
вдоль нее,	n - ось симметрии порядка n и плоскость симметрии, к ней перпендикуляр-
	m
ная, n2 - ось симметрии порядка n и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных,
n m или n / mmm - ось симметрии n-ого порядка и плоскости параллельные и перпенди-
m
кулярные к ней.
Задача 4.1. Показать, что в кристаллической решётке не может существовать ось симмет-
рии пятого порядка.
Задача 4.2. Найти порядок оси вдоль [111] в гранецентрированной кубической решётке.
Задача 4 3. Пренебрегая несущественными деталями, разбить буквы русского и латинско-
го алфавитов по группам симметрии.
Задача 4.4. Записать формулу симметрии следующих фигур: а) квадрата, б) параллело-
грамма, в) куба, г) тетраэдра, д) шеститигранной призмы, е) шестигранной пирамиды, ж)
додекаэдра, з) октаэдра, и) цилиндра, к) шара.

Задача 4.5. Записать международной символикой точечные группы:

а) D2 , б) C2v , в) C3v , г) S4 , д) C4h , e) D4h , ж) C6h , з) D6h , и) Th , к) O , л) Td .

Задача 4.6. Записать подгруппы следующих точечных групп:

а) mmm , б) 6mm , в) 4 mmm , г) 3m .

Задача 4.7. Найти порядки следующих групп симметрии: mmm , 222 , 23, m3m . Задача 4.8. Дано множество, состоящее из четырех матриц:

	0	1	0		−1 0		0		0	−1 0			1	0	0
	−1	0	0		0	−1 0			1	0	0		0	1	0
a =				b =				c =				e =
	0	0	1		0	0	1		0	0	1		0	0	1

В качестве операции умножения используется умножение матриц. Показать, что данное множество является группой. Найти его подгруппы.

Задача 4.9. Найти подгруппы группы 422.

Задача 4.10. Определить элементы симметрии модели объемноцентрированной кубической решетки, записать формулу симметрии и ее международный символ.

5. Матричное описание операций симметрии.

Каждой операции соответствуют матрицы. В соответствии со значением детерминанта матрицы преобразования все операции симметрии подразделяются на операции первого рода ( det aij = +1) и второго рода ( det aij = −1). Операции первого рода (повороты) не из-

меняют системы координат, операции второго рода (отражения, инверсия) преобразуют правую систему координат в левую и наоборот. Матрица преобразования системы координат, эквивалентная двум последовательно выполненным преобразованиям, равна произведению матриц этих преобразований.

Матрица тождественного преобразования

1 0 0

e = 0						1	0																										(5.1)
				0		0	1
Поворот на угол ϕ вокруг оси, задаваемой вектором (k1 k2																											k3 )
		cosϕ +k 2						(1−cosϕ)					k	3	sinϕ +k k			2	(1−cosϕ)				−k	2	sinϕ +k k					3	(1−cosϕ)
		cosϕ +k 2						(1−cosϕ)					k		sinϕ +k k				(1−cosϕ)				−k		sinϕ +k k						(1−cosϕ)
							1				(1−cosϕ)				1													1
	−k		3	sinϕ +k k						2	(1−cosϕ)			cosϕ +k 2 (1−cosϕ)									k sinϕ +k			2	k		3	(1−cosϕ)		.	(5.2)
			3					1		2					2					(1−cosϕ)			1			2			3
	k	2	sinϕ +k k						3	(1−cosϕ)			−k sinϕ +k			2	k		3	(1−cosϕ)			cosϕ +k 2					(1−cosϕ)
		2					1		3						1	2			3							3
Поворот по часовой стрелке на угол ϕ =																					2π	(ось поворота ось Z)
Поворот по часовой стрелке на угол ϕ =																						(ось поворота ось Z)
Матрица абсолютных величин углов																					n
Матрица абсолютных величин углов
						ϕ			π		−ϕ	π
						ϕ			π		−ϕ	π
										2		2
ϕij			=		π	+ϕ					ϕ	π																					(5.3)
					2	π					π	2
						2					2	0
						2					2

Матрица направляющих косинусов

aij

cosϕ

sinϕ

−sinϕ

cosϕ 0

(5.4)

Отражение в плоскости симметрии, проходящей через ось Z и составляющей угол θ с

осью X.

Матрица абсолютных величин углов

2θ

−

2θ

ϕij =

− 2θ

π − 2θ

(5.5)

Матрица направляющих косинусов

cos(2θ)

sin(2θ)

aij

sin(2θ)

− cos(2θ) 0

(5.6)

Зеркальный поворот на угол ϕ вокруг оси координат Z

cosϕ

sinϕ

−sin

cosϕ

(5.7)

−1

Инверсия

I =

−1

(5.8)

Инверсионный поворот на угол ϕ вокруг оси координат Z

−cosϕ

−sinϕ

sinϕ

−cosϕ

(5.9)

−1

к новой

При переходе от некоторой системы координат с базисными векторами a ,

b ,

системе с базисными векторами, точка, имевшая в базисе a , b , cr координаты x ,

y , z , в

базисе A ,

rB , rCr

rбудет иметь координаты X , Y , Z . Разложение вектора базиса A , B , C

по базису

a ,

b ,

c :

+α13cr

=α11ar +α12b

=α21ar +α22br

+α23cr,

(5.10)

=α31ar +α32br

+α33cr

Аналогично, каждый вектор базиса a , b , c можно разложить по базису A ,

B ,

C :

4 mmm , г) 23, д)

ar	= β	r	r	+ β	r
ar	= β	A + β	B	+ β	C
r		11 r	12 r		13 r
b	= β21 A + β		22 B + β23C .			(5.11)
cr		r	r		r
cr	= β	31 A + β	32 B	+ β	33C
Матрицы αij и βij					являются взаимно обратными. Чтобы выразить новые координаты точ-

ки через старые нужно использовать матрицу βij , подвергнутую транспонированию. Ана-

логичным образом для получения выражения старых координат через новые используется матрица α ji получаемая транспонированием матрицы αij .

Задача 5.1. Записать в матричной форме результаты последовательного действия опера-

ций: а) 2x 1 , б) 6z mx , в) 2x 3111 mz , г) 2x mz 3111 , д) 3z mx , е) mx 3z и определите полученную операцию.

Задача 5.2. Привести матричное представление точечной группы m3m и указать, каким преобразованиям соответствуют ее элементы.

Задача 5.3. Записать матрицы-генераторы групп: а) 222 , б) 4mm , в)

432 .

Задача 5.4. Записать матрицы-генераторы (порождающие матрицы) привести матричное

представление точечной группы									4	mmm		. Найти подгруппы этой группы.
										mmm
Задача 5.5. В кристалле имеются повороты													вокруг координатных осей x и y ,					как вокруг
осей 4 . Записать матричное представление точечной группы этого кристалла.
Задача 5.6. Каким операциям симметрии соответствуют следующие матрицы:
		−1 0 0					1	0	0				0 1 0		0 0 1	0 1 0
		−1 0 0					1	0	0				0 1 0		0 0 1	0 1 0
							0	2	2	2					1 0 0		1 0 0
а)		0 −1 0				б)	0	2		2	, в) −1 0 0			, г)	1 0 0	, д)	1 0 0	, е)
		0 0					0	2	2				0 0 1		0 1 0		0 0 1
		0 0			−1		0	2	2	2			0 0 1		0 1 0		0 0 1
								2		2
0		0	1
	0	1	0
	0	1	0	.
	1	0	0
	1	0	0

Задача 5.7. Изобразить графически взаиморасположение осей исходной координатной системы и осей после преобразования точечными операциями, имеющие в матричной записи вид:

		1			− 3				0			−	1		−		3			0		−		1		− 3				0
		1		2	− 3			2	0			−	1	2	−		3			0		−		1	2	− 3			2	0
				2				2						2				2							2				2
			3			1							3		−		1					−		3			1
а)			3			1	2		0	, б)			3		−		1	2		0	в)	−		3			1	2		0 , г)
				2			2		1				2				0	2		1			0		2			2
			0			0			1				0				0			1			0				0			−1

	−	1			3			0			1				− 3				0			− 1				3			0
	−	1	2		3			0			1	2			− 3		2		0			− 1		2		3			0
			2			2						2					2							2			2
	3				1						3				1							3				1
	3				1	2		0 , д)			3				1	2			0 , е)			3	2			1	2		0
		2				2						2				2						0	2				2		1
		0			0			−1			0				0				−1			0				0			1

Задача 5.8. Написать группы в матричном представлении для следующих операций:

а) 1 , б) 2x , в) 2 y , г) 3z , д) 3[111], e) mz , ж) 4z .

Задача 5.9. Записать матрицу преобразования осей координат при переходе от гексагональной к ромбоэдрической системе осей.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_Антонян Ю.М., Психология преступника и расследования преступлений