Материал: Тишин ВБ Новоселов АГ Процессы переноса в технолог аппаратах

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Через проекции на координатные оси вектор		может быть
Через проекции на координатные оси вектор	F	может быть
представлен в виде

F Fxi Fy j Fz k ,

где i, j, k – единичные векторы.

Поверхностные силы пропорциональны площади поверхности, на которую они действуют. Напряжение сил на площадке с нормалью n определяется равенством


pn	lim ( P/ S ).
	S 0

Рассмотрим напряжения, возникающие в элементе жидкости, в виде тетраэдра (рис. 1.4). Напряженное состояние будет определяться суммой массовых и поверхностных сил. Оценим их порядок. Массовые силы dRm ~ ρ dV ~ ρ dxdydz , поверхностные −

dP ~ dS ~ dxdy , т. е. dRm на порядок меньше dP, поэтому массовыми силами пренебрегаем.

p y

Рис. 1.4. Напряженное состояние элемента жидкости

Таким образом, мы будем рассматривать напряженное состоя-

ние элемента жидкости под действием только поверхностных сил.

Напряжение этих сил pn выразим через составляющие, совпадающие

с направлением осей координат, как px , py и		pz .

Напряженное состояние будет определяться суммой массовых и поверхностных сил. Оценим их порядок. Массовые силы

dRm ~ dV ~ dxdydz , поверхностные − dP ~ dS ~ dxdy , т. е. dRm на порядок меньше dP. Поэтому массовыми силами пренебрегаем.

При произвольном расположении площадки с внешней норма-

лью n вектор pn может быть представлен в виде равенства

pn	pnx cos(n, ^ x)	pny cos(n, ^ y)	pnz cos(n, ^ z),

или в проекциях на координатные оси:

pnx	σ xcos(n, ^ x)	τ xycos(n, ^ y)	τ xzcos(n, ^ z);
pny	τ yxcos(n, ^ x)	σ ycos(n, ^ y)	τ yzcos(n, ^ z);
pnz	τ zxcos(n, ^ x)	τ zy cos(n, ^ y)	σ z cos(n, ^ z) ,

где и − нормальная и касательная компоненты напряжения.

В качестве примера на рис. 1.5 показаны направления компонентов напряжений в плоскости z0x

		zx
			xz

x			x
xz
0	zx		x

Рис. 1.5. Нормальные и касательные напряжения в элементарном объеме жидкости

Таким образом, вектор напряжения pn определяется девятью скалярными величинами ( x , y , z , xy , xz , yx, yz , zx , xy ) и может быть выражен тензором напряжений

	σ x τ xy τ xz
T	τ yx σ y τ yz	.	(1.12)
	τ zx τ zy σ z

Между матрицами (11) и (1.12) существует прямая зависимость, выражающая закон внутреннего трения для ньютоновских жидкостей:

					T	2 .
		В проекциях на координатные оси это равенство примет вид
уравнений (1.17) и (1.18).
		Примем условие симметричности тензора (1.12) относительно
главной			диагонали.		Тогда	xy	yx ;	yz	zy ;	zx	xz
и	x	y	z	const.	Таким образом,		напряжение		определяется
	x	y	z

только шестью скалярными величинами. В покоящейся жидкости, согласно уравнению (1.6), касательные напряжения равны нулю. То-

гда,	pnx	xcos(n, ^ x),		pny	ycos(n, ^ y),		pnz	zcos(n, ^ z),	но
pnx ,	pny , pnz		есть проекции			на соответствующие оси, т.			е.
pnx ,	pny , pnz		есть проекции		pn	на соответствующие оси, т.			е.
			z . Давление в произвольной точке покоящейся сре-
pn	x	y	z . Давление в произвольной точке покоящейся сре-
ды,	равное	p	pn	x	y	z , не	зависит	от ориентации

площадки в пространстве. В этом заключается важнейшее свойство гидростатического давления.

Давлением в движущейся жидкости постулируется величина

	p		1	(			z ).	(1.13)
	p			(	x	y	z ).	(1.13)
		3
	Для нормальных напряжений эта связь выражается в виде ра-
венства (по оси 0x )
						ux		(1.14)
	x	p			2		div u,
		p			2	x	div u,


где	и – динамические коэффициенты вязкости, причем коэффи-
циент	относится только к сжимаемой жидкости.

Суммируя нормальные напряжения x , y , z , запишем

				(1.15)
x	y	z	3 p (2 3 )div u .

Для соблюдения равенства (1.13) необходимо, чтобы в уравне-

ниях (1.14) и (1.15)

2	.	(1.16)
3

Тогда нормальные составляющие тензора T можно представить следующим образом:

		ux	2
p	2			div u;
p	2	x	3	div u;
		x	3
		uy	2		(1.17)
p	2			div u;
p	2	y	3	div u;
		y	3
		uz	2
p	2			div u.
p	2	z	3	div u.
		z	3

Касательные напряжения выражаются уравнениями


xy	ux	uy	;
	y	x	;


yz	uy	uz		;	(1.18)
	z	y		;	(1.18)

zx	ux	uz	.
	z	x

Уравнения (1.18) выражают обобщенный закон течения Ньютона. Они определяют поток импульса силы трения (количества движения) в единицу времени через единицу площади трущихся поверхностей. Для случая одномерного движения, приведѐнного на рис. 1.2, уравнения (1.18) приобретают вид (1.7).

1.2.3. Уравнение движения в напряжениях

Вывод уравнения основан на законе изменения количества движения применительно к массе жидкости, заключенной в объеме V: изменение количества движения в единицу времени равно главному вектору сил, действующих на элемент жидкости:


dK				(1.19)
	R	Rm	P.

dt

Количество движения можно представить в виде интеграла

		(1.20)
K	udV .	(1.20)

Изменение количества движения связано с изменением векто-

ра скорости u во времени. Тогда из предыдущего уравнения


dK		du	dV .
			dV .
dt	V	dt
	V

Главный вектор поверхностных сил


P	pndS	div pndV .
	S	V

(1.21)

(1.22)

Подставляя уравнения (1.11), (1.21), (1.22) в равенство (1.19) и суммируя подынтегральные функции с учетом произвольности

объема V , получим

	du			(1.23)
		F	div pn .
	dt

В проекциях на координатные оси уравнение движения в напряжениях (1.23) примет вид

ρ	dux	ρF	σx	τxy	τxz	;	(1.24)
ρ		ρF				;	(1.24)
	dt	x	x	y	z
	dt		x	y	z

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11