Материал: Тишин ВБ Новоселов АГ Процессы переноса в технолог аппаратах

Для более полного усвоения курса после отдельных разделов даются примеры задач, решение которых связано с пройденным материалом.

Однако, прежде чем переходить непосредственно к изучению данного курса, необходимо вспомнить основные положения кинематики движения жидких сред, которые излагаются в курсах «Гидравлика» и «Процессы и аппараты».

Основы кинематики движения сплошной среды

Задачей кинематики является задание движения материальной точки или системы материальных точек в пространстве и времени независимо от причин, вызвавших это движение. По определению Н.Е. Жуковского, кинематика – это геометрия движения.

В отличие от твердого тела, движение которого происходит поступательно вместе с центром массы и вращательно вокруг оси, проходящей через этот центр, движение элемента жидкости, кроме того, сопровождается его линейной и угловой деформациями.

Задать движение – значит определить местонахождение и скорость движения точки в пространстве.

Скорость, или движение, жидкости может быть задана двумя методами – Лагранжа и Эйлера.

Метод Лагранжа заключается в задании траектории движения частиц жидкости.

в пространстве и скорости еѐ движения к проекциям на координатные оси, запишем

xx(x0 , y0 , z0 , t);

yy(x0 , y0 , z0 , t);

zz(x0 , y0 , z0 , t);

ux dx / dt; u y dy / dt; uz dz / dt ,

6

Зависимость (1) есть дифференциальное уравнение траектории движения.

Методом Лагранжа легко задать движение материальной точки или любого тела, когда их перемещение в пространстве можно фиксировать тем или иным способом, например следить за полѐтом самолѐта с помощью радара.

При изучении течений жидких сред проследить за перемещением какого-то определѐнного элемента чрезвычайно сложно. В этом случае прибегают к методу задания движения по Эйлеру.

Метод Эйлера заключается в задании поля скоростей. Иными

Это равенство возможно в том случае, если его слагаемые равны нулю. В таком случае

7

нием скорости движения во времени в данной точке пространства и перемещением его из одной точки пространства в другую под действием каких-либо сил. В первом случае ускорение называется локальным, во втором – конвективным. Исходя из принятых определений и уравнения (2), вектор ускорения можно представить в виде

или в проекциях на оси декартовой системы координат:

Заменив производные от координат по времени соответствующими скоростями, получим

8

Различают несколько видов движения сплошных сред. Установившимся называет движение, у которого характери-

стики (плотность, давление, составляющие скорости вдоль осей координат и т. д.) в каждой точке потока не изменяются во времени. Движение, не удовлетворяющее этому определению, называется неустановившимся.

Равномерным движение считается в том случае, если скорость не меняется по длине потока. Движение, для которого данное определение не выполняется, считается неравномерным.

Напорным называют такой вид движения жидкости, при котором поток не имеет свободной поверхности. Движение, при котором поток не со всех сторон ограничен стенками трубопровода, т. е. имеет свободную поверхность, называется безнапорным или движением со свободной поверхностью.

При движении элемент жидкости может претерпевать линейные и угловые деформации. Покажем, какими величинами они характеризуются.

Линейная деформация. Рассмотрим движение элемента жидкости в виде отрезка 0А вдоль оси 0x (рис. 1). Пусть за время dt точка переместится из положения A в положение A1 . При этом прираще-

9

ного удлинения отрезка x , или скорость относительной линейной деформации вдоль оси 0x , равна

Аналогично для остальных осей

Таким образом, частные производные от составляющих скорости по одноименным координатам есть скорости относительных линейных деформаций элемента жидкости вдоль координатных осей.

Угловая деформация. Деформация может происходить по всем координатам. Выделим в жидкости элемент в виде отрезка длиной dx , ориентированного вдоль оси 0 x (рис. 2) в плоскости x0z.

За время dt отрезок из положения AB переместится в положение A1B1 . При этом происходят его угловая и линейная деформации

A1B1 AB :

10