Материал: Тишин ВБ Новоселов АГ Процессы переноса в технолог аппаратах

Следовательно, производные от составляющих скоростей по разноименным координатам есть скорости относительных угловых деформаций элемента жидкости, или его угловые скорости вращения относительно осей координат.

Из выражения (8) видно, что первые две производные – это угловые скорости вращения бесконечно малого отрезка относительно оси 0 z , вторые – относительно оси 0 x и третьи – относительно оси 0 y .

Вихревое движение жидкости. При движении жидкости можно наблюдать образование вихрей (например, при встрече с препятствиями). Рассмотрим движение элемента жидкости, имеющего проекцию на плоскость x0z в виде прямоугольника 0ABC (рис. 3). За время dt прямоугольник повернется и деформируется таким образом, что точка A переместится в положение A1, точка B – в положение B1 и т. д.

Согласно выражениям (8) и рис. 3,

Суммарная угловая деформация элемента жидкости

z

С1

Рис. 3. Линейная и угловая деформации элементарного объема жидкости

Скоростью угловой деформации в плоскости x0z принято называть величину

12

Из девяти скалярных величин линейных и угловых деформаций можно составить матрицу, называемую тензором скоростей деформаций:

Трубка тока, элементарная струйка. Поверхность, образо-

ванная линиями тока, проведенными через точки произвольного контура, называется трубкой тока.

Трубка тока бесконечно малого сечения, заполненная линиями тока, называется элементарной струйкой.

Сечение, нормальное к линиям тока, называется «живым» сечением. Скорость по сечению элементарной струйки ввиду малости ее живого сечения постоянна и равна локальной скорости.

Расход жидкости через сечение элементарной струйки может быть определен следующим образом. За время dt через живое сечение dS элементарной струйки проходит объем жидкости dV dS dl . Так как dl udt , то dV udtdS . Величина элементарного объемного

Тогда объемный расход жидкости через живое сечение потока, состоящего из бесконечно большого множества элементарных струек,

Модель, согласно которой поток представляется в виде системы бесконечно большого количества элементарных струек, называется струйной моделью потока. При этом постулируется, что боковая

13

поверхность каждой струйки является непроницаемой для среды, движущейся в соседних с ней струйках.

Средняя скорость потока

Равенство (14) представляет закон сохранения массы (неразрывности) или постоянства расхода в интегральной форме. В дифференциальной форме уравнение неразрывности мы получим в следующем разделе. Индексы 1 и 2 в равенствах (14) и (15) соответствуют двум произвольно выбранным по длине потока живым сечениям. Аналогичным образом можно записать закон постоянства расхода для любого числа выбранных живых сечений.

14

1.ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

1.1.Уравнение сохранения массы (неразрывности потока)

Уравнение выражает закон сохранения массы в движущейся сплошной среде. С целью его получения выделим в пространстве произвольный объем жидкости V с поверхностью S , через который проходит поток жидкости (рис. 1.1). Масса жидкости в выделенном

объѐме m dV . Изменение массы во времени при постоянном объ-

n u

dS

Рис. 1.1. Схема к выводу уравнения неразрывности потока

С другой стороны, это изменение возможно только за счет притока или оттока жидкости через площадь поверхности S:

где un – скорость жидкости по нормали к поверхности в произвольной точке.

15