Материал: Тишин ВБ Новоселов АГ Процессы переноса в технолог аппаратах

В общем виде перенос теплоты в несжимаемой среде и при постоянной теплоѐмкости описывается дифференциальным уравнением Фурье–Кирхгофа

где а = λ/ρср – коэффициент температуропроводности.

Влевой части равенства (3.7), при любом варианте его решения, первое слагаемое определяет скорость переноса теплоты в нестационарных процессах, второе – скорость переноса теплоты только при наличии в жидкости конвекционных токов.

Вправой части первое слагаемое определяет скорость переноса теплоты теплопроводностью, второе – учитывает влияние на процесс переноса внутреннего источника энергии. Если источником энергии служит жидкостное трение, то, согласно уравнению (1.41),

qr E . При культивировании микроорганизмов источником тепло-

выделений являются метаболические процессы, протекающие внутри клеток.

Источником энергии могут быть также химические реакции,

ние, описывающее нестационарный перенос теплоты теплопроводностью:

96

3.2. Перенос теплоты теплопроводностью

Многочисленными исследованиями установлено, что количество теплоты, переданной теплопроводностью, пропорционально градиенту температур по нормали к изотермической поверхности и может быть выражено уравнением

скорость молекулярного переноса теплоты как в твѐрдых телах, так и в покоящихся и движущихся жидкостях, Вт/(мК) ; T/ n – градиент

температуры по нормали к поверхности.

Уравнение (3.9) называют законом теплопроводности Фурье. В случае стационарной теплопроводности dT/dt 0 и уравне-

ние (3.8) примет вид

При отсутствии внутренних источников теплоты для плоской задачи, изменение температуры по оси х, уравнение (3.10) примет вид

Таким образом, при переносе теплоты теплопроводностью изменение температуры по толщине стенки происходит по линейному закону. Удельный тепловой поток через плоскую стенку находят из уравнения (3.9):

При наличии теплообмена со стенкой и движущимся около неѐ потоком жидкости уравнение теплового баланса, согласно уравнениям (3.4) и (3.9), записывается в виде равенства

где α – коэффициент теплообмена, характеризующий скорость пере-

ний (3.15а) следует уравнение, описывающее распределение температуры по оси x :

Перенос теплоты при наличии внутреннего источника энергии

Определѐнный интерес представляет задача по отводу теплоты, образующейся в результате метаболических процессов внутри клетки, в культуральную жидкость при культивировании микроорганизмов.

Прежде чем решать поставленную задачу, необходимо иметь представление о том, каков механизм теплообмена между клеткой и окружающей еѐ средой. Это может показаться странным, но четко-

98

го ответа на поставленный вопрос нет. Нет даже точного ответа на вопрос: намного ли отличается температура внутри клетки от температуры окружающей среды? Можно найти подробное описание различных моделей транспорта питательных веществ из культуральной среды в клетку и отвода продуктов метаболизма из клетки (эти вопросы мы рассмотрим несколько позднее при изучении процессов переноса массы), но вопросам теплообмена между клеткой и средой внимания уделяется немного.

Можно представить два механизма переноса теплоты из клетки в окружающую среду – теплопроводностью и конвекцией через клеточную мембрану. Скорее всего, присутствуют оба механизма. Под конвекцией в данном случае понимается перенос теплоты за счѐт замены находящегося в клетке нагретого водного раствора продуктов метаболизма более холодным водным раствором питательных веществ из окружающей клетку культуральной жидкости (в дальнейшем для сокращения будем называть раствор просто «водой»). В работе [19] отмечается, что трансмембранный обмен воды протекает с высокой скоростью, но, к сожалению, не указывается, с какой именно. Таким образом, конвективный перенос теплоты связан с диффузионными процессами переноса массы, а его скорость определяется скоростью диффузии через клеточную мембрану.

При решении задачи по определению разности температур T Tb T f (рис. 3.2) методом теплопроводности требуется уравне-

ние (3.10). Если же основываться на механизме конвекционного переноса, то потребуется уравнение переноса массы (3.52), т. е. задача значительно усложняется. С моделями трансмембранного обмена в клетках можно ознакомиться в работах [19–22]. Поскольку нас интересуют только оценочные расчеты, воспользуемся пока механизмом теплопроводности и, если понадобится, введем необходимую поправку.

Рассмотрим, к примеру, очень схематично строение дрожжевой клетки. Ядро клетки защищено от внешней среды клеточной мембраной толщиной м . Сразу отметим, что в действительности

клеточная мембрана многослойна и имеет сложное строение. При желании глубоко разобраться со строением мембран и их функциями в клетки можно обратиться к работам [19–21].

Далее решение можно разделить на два варианта. В первом варианте считать условно всю клетку твѐрдым телом, в центре которого

99

температура Tb максимальна, а отвод из клетки происходит теплопроводностью за счѐт разности температур T Tb T f , где T f –

температура наружной поверхности клетки. Таким образом, в данном случае мы должны получить уравнение, описывающее распределение температуры по всему объѐму клетки.

м

Рис. 3.2. Схематичное изображение клетки

Второй вариант принципиально мало чем отличается от первого. Разница лишь в том, что твѐрдой будет считаться только клеточная мембрана, а внутри клетки находится что-то вроде геля, температура которого Tb const . Вначале решим вторую задачу, как более

общую. Первая задача является частным случаем второй.

Будем считать, что клетка имеет сферическую форму (см. рис. 3.2). В таком случае решение задачи переноса теплоты теплопроводностью следует вести в сферических координатах. Уравнение (3.10) в сферических координатах имеет вид

где R – радиус расположения произвольной точки с температурой T ;

и– углы, определяющие направление радиуса-вектора.

При наличии симметричности распределения температуры по объѐму клетки производные температуры по углам будут равны нулю и уравнение (3.16) упрощается:

100