Материал: ТАУ Лекция ч2

© К.Ю. Поляков, 2009

4. Морское волнение

4.1. Что такое морское волнение?

Морское волнение – это колебания поверхности воды, вызванные ветром (а также приливами, отливами и другими причинами). Простейшая модель морского волнения – гармонические колебания поверхности, когда волновая ордината (вертикальная координата точек поверхности) изменяется по закону синуса. Такое волнение называют регулярным (синяя штриховая линия на рисунке).

r

1

Однако, в самом деле волновая ордината меняется по более сложному закону, его можно (опять-таки приближенно) представить как сумму большого количества гармоник (синусоид) с разными амплитудами и фазами (теоретически – это сумма бесконечного числа гармоник). Это так называемое нерегулярное волнение, которое чаще всего описывается как случайный процесс. Можно предположить, случайные волновые ординаты распределены по нормальному закону, и это действительно подтверждается экспериментами. При этом плотность распределения высот волн подчиняется закону Рэлея.

В нашей стране для характеристики волнения используется высота волны 3%-ной обеспеченности h3% – это высота волны, вероятность превышения которой составляет 3%. Значения h3% определяются по таблице в зависимости от интенсивности волнения (в баллах):

По значению h3% можно определить дисперсию волновой ординаты Dr . Известно, что вы-

сота волны h – это случайная величина, распределенная по закону Рэлея: f (h)

Вероятность превышения некоторого уровня h3% можно рассчитать как интеграл от плотности вероятности на интервале [h3% ;∞) :

31

© К.Ю. Поляков, 2009

мерная. В двухмерной модели предполага-

ется, что гребни волн имеют бесконечную длину и перемещаются параллельно друг

другу в одном направлении (рисунок слева). Каждый, кто видел реальное волнение, знает, что на практике это не так. Более точная (но и более сложная) трехмерная модель учитывает сложение множества двухмерных волн, идущих в разных направлениях (рисунок справа).

Строго говоря, волнение – это нестационарный процесс. Оно начинается с ряби, затем ветер за счет завихрений потоков воздуха разгоняет волны. Но если ветер с постоянными свойствами действует достаточно длительно время (несколько часов) на большой акватории (десятки километров), можно говорить о развитом (установившемся) волнении, которое считают стационарным эргодическим процессом. Такой подход позволяет использовать методы анализа случайных процессов на основе корреляционных функций и спектральных плотностей.

Под термином «спектр морского волнения» обычно понимают спектральную плотность волновой ординаты. С экспериментальными данными лучше всего согласуются экспоненциальные спектры вида

Sr (ω) = Aω−k exp(− Bω−n ),

где параметры A , B характеризуют интенсивность волнения, а k и n зависят от его особенно-

32

© К.Ю. Поляков, 2009

На рисунке справа показаны графики спектра МКОБ (синяя линия) и спектра Неймана (зеленая линия) для волнения 4 балла ( h3% = 2 м).

Экспоненциальные спектры хорошо согласуются с экспериментальными данными, однако неудобны для моделирования и расчета систем управления. Вместо них используются дробно-

функций. Для развитого морского волнения β =1,02ωm и α = 0,21β .

На рисунке справа показаны спектр МКОБ и дробно-рациональные спектры 1 и 3 (кривая для спектра 2 проходит между ними). Графики дробно-рациональных спектров проходят выше экспоненциальных на низких частотах, которые больше всего влияют на поведение инерционных морских объектов (судов). Поэтому считается, что использование дробно-рациональных спектров приводит к несколько завышенным оценкам параметров движения (качки, рыскания).

Заметим, что спектр 3 равен нулю на нулевой частоте, так же, как и экспоненциальные спектры. Однако, если учитывать трехмерность волнения, по современным представлениям спектр на нулевой частоте в большинстве случаев отличен от нуля. Это оправдывает использование дробно-рациональных спектров 1 и 2.

4.2. Кажущиеся спектры

До этого мы рассматривали спектры волнения без учета движения судна. Очевидно, что двигаться против волнения труднее, чем «по волне», а движение судна «лагом» к волне (при бортовой волне) вызывает сильную качку. Это означает, что эффект действия волнения на судно зависит от скорости и направления его движения по отношению к основному направлению распространения волн. Математически это выражается в изменении спектральной плотности возмущения.

В физике хорошо известен эффект Доплера, который состоит в том, что при движении датчика измеренная им частота волны изменяется в зависимости от его собственной скорости

тота, v – скорость движения датчика в направлении источника волн, а u – скорость распространения самих волн. При движении судна против волнения ( v > 0 ) кажущаяся частота волн будет больше, чем истинная, а при движении «по волнению» ( v < 0 ) – меньше истинной.

33

© К.Ю. Поляков, 2009

Из гидродинамики известно, что скорость распространения волны с частотой ω (на глу-

бокой воде) равна u = ωg . Кроме того, если судно движется со скоростью V (в м/с) по углом ξ к

направлению распространения волн (считается, что ξ = 0 соответствует движению против волны), оно приближается к источнику со скоростью v =V cosξ . Таким образом, формула преоб-

Если судно «убегает» от волн, то при увеличении скорости кажущаяся частота, вычисленная по этой формуле, оказывается отрицательной – это означает, что судно обгоняет волны. Поэтому для того, чтобы работать только с положительными частотами, нужно взять модуль выражения в правой части. Окончательно получаем

ω судно воспринимает с кажущейся частотой ωk .

Чтобы построить кажущийся спектр, нужно научиться решать обратную задачу – по заданной кажущейся частоте ωk определить частоту (или частоты!) исходного спектра, которые судно воспринимает как ωk . Используя (8), формально получаем два квадратных уравнения

aω2 +ω ≥ 0 ), а второе имеет только одно положительное решение. На рисунке слева изображен график функции ωk = aω2 +ω , который ясно показывает, что одной кажущейся частоте ωk1 > 0

Теперь предположим, что судно идет под тупым углом к волне («убегает» от волн), так

больше ω0 судно опережает, поэтому кажущаяся частота становится отрицательной.

34

© К.Ю. Поляков, 2009

Если интересующая нас кажущаяся частота ωk1 меньше максимальной (равной ω0 / 4 ), то энергия волн на трех частотах (ω1 , ω2 и ω3 ) складывается на частоте ωk1 кажущегося спектра. Если ωk1 > ω0 / 4 , остается только оно решение – ω3 .

Нужно понимать, что мощность волнения (средний квадрат волновой ординаты) не зависит от скорости движения судна. Для движущегося объекта эта мощность просто перераспределяется по частотам. Поэтому при расчете кажущегося спектра важно сохранить мощность. Это значит, что средние квадраты волновой ординаты для исходного и кажущегося спектров должны быть равны:

Выражение dω/dωk в правой части последнего равенства можно найти как обратное значение

При a < 0 нужно взять эту производную по модулю (чтобы все составляющие спектра складывались, а не вычитались). В самом сложном случае, когда на частоте ωk1 кажущегося спектра складываются три составляющие исходного спектра (соответствующие частотам ω1 , ω2 и ω3 ), при численном пересчете спектра имеем:

кой полосе на низких частотах. При этом возмущение оказывает очень сильное влияние на судно, и это влияние сложно (а иногда и невозможно) скомпенсировать с помощью управления. Поэтому движение на попутном волнении – это один из самых сложных режимов движения в точки зрения стабилизации курса.

35