Материал: ТАУ Лекция ч2
© К.Ю. Поляков, 2009
Современный подход к решению этой задачи основан на использовании параметризации всех стабилизирующих регуляторов. Так называется выражение для передаточной функции регулятора, которое зависит от неизвестной устойчивой функции. Изменяя эту функции произвольным образом (но сохраняя ее устойчивость), мы можем получить любой регулятор, который стабилизирует систему. С другой стороны, в такой форме можно представить любой регулятор, который стабилизирует систему.
Для построения параметризации передаточную функцию разомкнутого контура (без регулятора) представляют в виде отношения полиномов, n(s) и d(s) :
P(s) G(s) H (s) = |
n(s) |
. |
(24) |
|
|||
|
d(s) |
|
|
Если полиномы n(s) и d(s) не имеют общих корней, то существуют полиномы a0 (s) и b0 (s) , удовлетворяющие уравнению
a0 (s) n(s) +b0 (s) d(s) =1. |
(25) |
Это полиномиальное уравнение, то есть уравнение, в котором неизвестными являются полиномы (многочлены). Степени полиномов a0 (s) и b0 (s) на единицу меньше, чем степени d(s) и
n(s) соответственно. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s в левой и пра-
вой частях уравнения, получаем линейную систему уравнений, которая легко решается современными программными средствами.
Параметризация всех стабилизирующих регуляторов имеет вид |
|
|
C(s) = a0 + dΦ |
, |
(26) |
b − nΦ |
|
|
0 |
|
|
где Φ(s) произвольная устойчивая дробно-рациональная функция (то есть, все корни ее знаменателя имеют отрицательные вещественные части). Любой регулятор, построенный по этой формуле – стабилизирующий, в то же время любой стабилизирующий регулятор может быть представлен в таком виде для некоторой функции Φ(s) .
Подставляя выражение (26) для C(s) в (22), находим, учитывая (24) и (25):
|
|
|
|
|
~ |
|
|
+ dΦ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
C(s) = d(a0 |
|
|
||||
В свою очередь, подставляя это выражение в (23), получаем |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
* |
~ |
~* * |
~ |
, |
|
|
~ |
~ |
|
~ |
X (s) = AΦΦ |
|
− BΦ − B Φ |
+ E |
|||
где |
(s) и |
(s) – известные функции. Поскольку любая устойчивая функция Φ(s) дает |
|||||||||
A(s) , |
B |
E |
|||||||||
стабилизирующий регулятор (26), мы свели исходную задачу к задаче Винера, которую можно решать известными средствами (применяя факторизацию и сепарацию).
5.4. Стандартная система
Чтобы не «привязываться» к конкретной структурной схеме, программы для проектирования оптимальных регуляторов обычно используют так называемую стандартную систему, где выделяют 4 типа сигналов и связанных с ними передаточных функций:
ε – сигнал ошибки, его нужно сделать «минимальным» в некотором смысле; y – измеренный сигнал обратной связи, поступающий на вход регулятора; w – внешнее возмущение;
u – управляющий сигнал на выходе регулятора.
Уравнения системы (в изображениях по Лапласу) можно записать так:
46
© К.Ю. Поляков, 2009
|
|
ε |
|
|
|
w |
|
|
G11 |
(s) G12 |
(s) |
||
|
|
|
|
|||
ε = G11(s) w +G12 (s) u |
y |
|
G21(s) G22 (s) |
u |
||
y = G21 (s) w +G22 (s) u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C(s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Справа показано общепринятое обозначение стандартной системы. Обратите внимание, что в ней (формально) используется положительная обратная связь. При построении передаточных функций Gij (s) (i, j =1,2) предполагается, что регулятора в контуре нет (цепь разорвана).
Каждый из четырех сигналов может быть векторным, то есть, содержать несколько компонент. Например, в рассмотренной выше задаче стабилизации судна на курсе требовалось ограничить сумму дисперсий Dϕ + ku2 Du . Ее можно представить как дисперсию векторного сигна-
ϕ |
|
, которая по определению равна: |
|
|
|
|
|
|||
ла ε = |
|
|
|
|
|
|
||||
kuu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
= E{εT ε} = E [ϕ k |
u] ϕ |
|
= E{ϕ2 |
+k 2u2 |
} = D +k 2 D . |
||
|
|
ε |
|
u |
|
|
|
u |
ϕ |
u u |
|
|
|
|
|
kuu |
|
|
|
|
|
Здесь E{} |
обозначает математическое ожидание выражения в фигурных скобках, верхний ин- |
|||||||||
декс T – операцию транспонирования. Также учитывается, что сигналы центрированные, поэтому математическое ожидание квадрата сигнала равно его дисперсии.
Построим стандартную систему для задачи оптимальной стабилизации судна на курсе, которая рассматривалась выше. Здесь добавлен фильтр Fm (s) , который формирует спектр помехи измерений. Его входной сигнал µ описывается как единичный белый шум, независимый от ξ .
|
|
|
|
|
ξ |
|
Fw (s) |
|
|
|
|
|
y |
регулятор |
привод |
|
|
|
|
|
ϕ |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
заданный ϕ0 + |
|
|
u |
|
δ |
|
|
ωz |
1 |
||
|
C(s) |
H (s) |
P1 |
(s) |
|
||||||
курс |
|
|
|
|
|
s |
|
||||
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕˆ датчик
G(s)
µFm (s) 
m
Вектор внешних воздействий в задаче оптимизации при случайных возмущениях должен описываться моделью единичного белого шума. В данном случае он состоит из двух компонент, независимых сигналов ξ и µ . Уравнения системы выглядят так:
|
|
|
|
|
ε1 =ϕ = |
P2 Fwξ |
+ PHu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε2 = |
|
kuu |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = −GP2 Fwξ − Fmµ −GPHu |
|
|
||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
(s) = |
P2 Fw |
0 |
, |
G (s) = PH |
, G (s) = [−GP F |
−F ], |
G (s) = −GPH . |
||
11 |
|
0 |
0 |
|
12 |
ku |
21 |
2 w |
m |
22 |
|
|
|
|
|
||||||
47
© К.Ю. Поляков, 2009
Обратите внимание, что отрицательная обратная связь здесь выражается в том, что в записи G22 (s) появляется знак «минус». Можно показать, что G22 (s) – это передаточная функция разомкнутого контура (без регулятора).
5.5.Особенности задачи оптимизации
5.5.1.Идеальные датчики
Что будет, если в задаче оптимизации предположить, что датчик идеально измеряет сигнал (то есть, принять Fm (s) = 0 )? Если выполнить синтез, передаточная функция оптимального регулятора может получиться, например, такая:
C(s) = 0,5s2 + s + 0,1 . s + 0,4
В ней степень числителя выше, чем степень знаменателя. Разделив числитель на знаменатель, можно выделить дифференцирующее звено с передаточной функцией 0,5s . Вроде бы здесь нет ничего плохого. Однако при построении частотной характеристики такого регулятора
(см. ЛАФЧХ на рисунке справа, красная линия) становится |
L (ω) |
||
|
m |
||
видно, что он усиливает высокочастотные сигналы. Во- |
|
|
Fm (s) = 0 |
|
|
||
первых, это приводит к тому, что сигнал управления будет |
|
|
Fm (s) = 0,1 |
очень большим и в реальной системе будет превышено его |
|
|
|
максимально допустимое значение. Во-вторых, любой высо- |
|
|
|
кочастотный шум измерения (который всегда присутствует) |
|
|
ω |
будет усиливаться регулятором, который начнет «раскачи- |
|
|
|
вать» систему. Таким образом, с точки зрения практического использования получилось плохое решение, хотя и «оптимальное».
Чтобы избежать подобных проблем и сделать регулятор нечувствительным к высокочастотным помехам измерительной системы, в задаче оптимизации учитывают сигнал помехи типа «белого шума». Если принять Fm (s) = 0,1 при тех же условиях мы получаем регулятор
C(s) = |
50s2 |
+100s +10 |
. |
|
s3 +14s2 +100s + 40 |
||||
|
|
|||
Поскольку эта функция строго правильная (степень ее числителя меньше степени знаменателя), амплитудная частотная характеристика (синяя линия на рисунке) «скатывается» вниз на высоких частотах. Поэтому регулятор будет нечувствителен к помехам измерений. Для обеспечения «ската» частотной характеристики регулятора на высоких частотах (англ. roll-off), передаточная функция фильтра Fm (s) должна иметь равные степени числителя и знаменателя, то есть, модель
помехи должна содержать составляющую типа «белого шума». Если в системе несколько измеряемых сигналов, это относится к каждому из них.
5.5.2. Фиксированные полюса
Анализ оптимальных систем показывает, что все устойчивые полюса H (s) , G(s) и P1(s) автоматически становятся корнями характеристического уравнения оптимальной замкнутой системы. Это – так называемые фиксированные полюса, они определяются особенностями структуры системы. Если эти передаточные функции имеют неустойчивые полюса (с положительной вещественной частью), корнями характеристического уравнения становятся их (устой-
48
© К.Ю. Поляков, 2009
чивые) отражения от мнимой оси. Если же в H (s) , G(s) или P1(s) есть интегрирующее звено, задача не имеет практически ценного решения – характеристическое уравнение «оптимальной» системы будет иметь нулевой корень, система находится на границе области устойчивости.
Полюса функций P2 (s) , Fw (s) и Fm (s) в явном виде не входят в характеристическое уравнение. Это объясняется (на интуитивном уровне) тем, что блоки с передаточными функциями находятся Fw (s) и Fm (s) вне контура управления. Особенность блока P2 (s) состоит в том, что входной сигнал ξ проходит через него на выход ϕ . Путем достаточно сложных выкладок можно доказать, что при этом его полюса не будут корнями характеристического уравнения. Из этого правила есть одно исключение: формирующий фильтр возмущения не должен содержать дифференцирующее звено, то есть передаточная функция Fw (s) не должна иметь сомножителя
s в числителе.
Вспомним, что для моделирования воздействия морского волнения чаще всего используют формирующий фильтр с передаточной функцией
|
Fw (s) = |
Kws |
, |
|
||
|
s2 + 2λω0s +ω0 |
|
||||
где ω0 – доминирующая частота волн, λ – |
коэффициент демпфирования ( 0 < λ <1 ), |
|||||
Kw = 2λω0σw и σw – коэффициент, определяющий интенсивность волнения. При этом |
||||||
Fw (s) P2 (s) = |
Kws |
1 |
|
Kw |
||
|
s = |
|
, |
|||
s2 + 2λω0s +ω0 |
s2 + 2λω0s +ω0 |
|||||
то есть, полюс P2 (s) в точке s = 0 сократился нулем передаточной функции Fw (s) . Это значит, что входной сигнал ξ уже не действует на интегратор, и полюс в точке s = 0 в модели судна должен быть (с формально-математической точки зрения) отнесен к блоку P1(s) . Так как все полюса P1(s) (в исходном или «отраженном» виде) становятся корнями характеристического уравнения, в этом случае оптимального стабилизирующего регулятора не существует.
5.5.3. Регуляризация
Что же делать? Нужно построить «квазиоптимальный» (лат. как бы оптимальный, похожий на оптимальный) регулятор, который будет стабилизировать систему, хотя и будет несколько хуже, чем «оптимальный» (но нестабилизирующий!) по выбранному критерию качества. Для этого обычно выполняют регуляризацию задачи, то есть, немного меняют условие так, чтобы она стала решаемой. В данном случае возможно два приема:
1) вместо Fw (s) использовать измененную передаточную функцию фильтра
~ |
Kws +θ |
|
Fw (s) = |
|
, |
s2 + 2λω0s +ω0 |
которая не имеет нуля в точке s = 0 при любом малом θ ;
2)воспользоваться другой моделью спектра морского волнения, которая дает ненулевое значение на частоте ω = 0 , например, дробно-рациональными спектрами типов 1 и 2, которым соответствуют формирующие фильтры
~ |
|
γ |
0 |
|
~ |
|
γ |
s +γ |
0 |
|
F |
(s) = |
|
и |
F |
(s) = |
1 |
|
. |
||
s2 +δ1s +δ0 |
|
|
|
|||||||
w |
|
|
w |
|
s2 +δ1s +δ0 |
|||||
49
© К.Ю. Поляков, 2009
5.5.4. Все не может быть оптимальным
Отметим еще одну особенность рассматриваемой задачи. Мы стремились к тому, чтобы система была устойчива и обеспечивался минимум функции потерь I = Dε + ku2 Du . Одновре-
менно все остальные требования к системе, например, скорость и качество переходных процессов, не учитывались. Поэтому «оптимальный» регулятор может приводить к затянутому или колебательному переходному процессу.
5.6. Кривая качества
Важно понимать, что в любой задаче есть принципиальные (фундаментальные) ограничения, которые определяются особенностями структуры системы и не могут быть преодолены никаким регулятором. Например, ясно, что задачу «обеспечить рыскание судна не более 1° при волнении 8 баллов» в реальной ситуации решить нельзя.
Пусть известны все характеристики системы и возмущений. За счет чего можно уменьшить ошибку стабилизации? Как правило, только за счет увеличения мощности управления, которая ограничена14. Поэтому для уменьшения ошибки нужно увеличивать управляющий сигнал.
С другой стороны, активность руля тоже нужно всячески уменьшать, потому что механические части быстро изнашиваются и приходят в негодность. Кроме того, на управление затрачивается дополнительная энергия.
Таким образом, мы пришли к задаче многоцелевой оптимизации – хочется одновременно обеспечить минимум ошибки и минимум мощности управления. Как мы видели, эти две цели противоречивы. В таком случае чаще всего составляется единый критерий качества, который включает все величины, которые нужно минимизировать, с различными весовыми коэффициентами. Например, в задаче стабилизации судна при случайных возмущениях он выглядит так:
|
|
I = D + k2 D . |
|
(27) |
|
|
|
ε |
u u |
|
|
Здесь |
D |
и D – дисперсии ошибки и сигнала управления, а k2 |
– неотрицательный весовой ко- |
||
|
ε |
u |
|
u |
|
эффициент. |
|
|
|
||
|
Предположим, что мы нашли оптимальный регулятор |
Copt (s) , который минимизирует |
|||
этот критерий при некотором фиксированном коэффициенте ku2 . Можно ли выбором какого-то
ˆ |
|
|
Dε , |
и дисперсию |
другого регулятора C(s) одновременно уменьшить и дисперсию ошибки |
||||
управления Du ? Если предположить, что можно, получается, что регулятор |
ˆ |
дает меньшее |
||
C(s) |
||||
значение критерия качества (при том же k2 ), чем C |
opt |
(s) , то есть, C (s) – это не оптимальный |
||
u |
opt |
|
|
|
регулятор и мы пришли к противоречию. Таким образом, для полученной оптимальной системы нельзя одновременно уменьшить и дисперсию ошибки Dε , и дисперсию управления Du . Такие регуляторы называются Парето-оптимальными.
Для каждого коэффициента ku2 будут свои значения Dε и Du , так что можно построить график зависимости Du от Dε в оптимальных системах. Отметим, что чаще всего удобнее вме-
14 Например, угол перекладки руля судна чаще всего не может быть более 30-35° (при больших углах руль становится неэффективен).
50