Материал: ТАУ Лекция ч2

© К.Ю. Поляков, 2009

Интеграл от f (x) на некотором интервале [x1; x2 ] определяет вероятность того, что случайная величина x при очередном испытании окажется в этом интервале, то есть выполнится неравенство x1 ≤ x ≤ x2 .

Чему же равна вероятность точного равенства x = x1 для некоторого заданного x1 ? Чтобы

x1

ее найти, нужно взять интеграл ∫ f (x) dx . Поскольку верхний и нижний пределы интегрирова-

x1

ния совпадают, для «обычных» функций такой интеграл равен нулю, то есть, в рассмотренном выше примере вероятность выбрать наугад резистор с сопротивлением 100 Ом равна нулю.

x1

Может ли интеграл ∫ f (x) dx быть ненулевым? Оказывается да, но для этого функция

x1

f (x) в точке x1 должна быть бесконечной. Этим свойством обладает, например, так называемая дельта-функция (или функция Дирака) δ(x) , которая определяется так:

Дельта-функция равна нулю во всех точках, кроме x = 0 , где она обращается в бесконечность, причем интеграл от нее по всей оси равен 1.

Когда плотность вероятности может содержать дельта-функции? Предположим, что мы измеряем сигнал x на выходе цифрового устройства, который может принимать только два значения, например, 0 или 1. Такой сигнал, принимающий значения только из заранее заданного множества, называется дискретным.

Пусть вероятность появления нуля равна 0,4, а вероятность появления единицы – 0,6. Попытаемся построить плотность распределения этого сигнала, используя интуитивные соображения («здравый смысл»).

Во-первых, сигнал не может принимать другие значения, кроме 0 и 1, поэтому плотность вероятности равна нулю везде, за исключением этих двух точек. Во-вторых, вероятность того, что x = 0 ненулевая (равна 0,4), и вероятность того, что x =1 равна 0,6. Таким образом, имеем (при любом малом ε )

2Может случиться и так, что плотность распределения представляет собой сумму «нормальной» функции и дель- та-функций. Например, мы знаем, что в коробке есть 20 резисторов, сопротивление которых точно равно 100 Ом, а сопротивление остальных может быть любым в пределах допуска, от 97 до 103 Ом.

6

x = E{x} = ∞∫x f (x) dx .

−∞

Аналогично можно найти среднее значение любой функции, умножив ее на плотность распре-

деления и проинтегрировав произведение на всей оси. Например, средний квадрат x2 вычисляется так

x2 = E{x2} = ∞∫x2 f (x) dx .

−∞

Среднее значение (математическое ожидание) не может полностью характеризовать случайную величину. На рисунках показаны мишени, пораженные двумя стрелками (каждый сде-

7

© К.Ю. Поляков, 2009

лал по 5 выстрелов). В обоих случаях математическое ожидание – это центр мишени, то есть «в среднем» они бьют по центру. Однако всем понятно, что второй явно стреляет лучше. Как выразить это в виде числа?

У первого стрелка больше разброс точек попадания относительно средней точки. на языке теории вероятности разброс называется дисперсией – эта величина равна среднему квадрату отклонения от среднего значения x . То есть, дисперсия вычисляется по формуле:

Dx = E{(x − x)2} = ∞∫(x − x)2 f (x) dx .

−∞

Раскрыв скобки в подынтегральном выражении, можно показать, что дисперсия равна разности среднего квадрата и квадрата математического ожидания:

Dx = x2 −(x)2 .

Если математическое ожидание равно нулю, дисперсия и средний квадрат совпадают.

Использовать дисперсию не очень удобно, поскольку ее единицы измерения не совпадают с единицами измерения исходной величины (если x измеряется в метрах, то дисперсия – в квадратных метрах). Поэтому на практике чаще применяют среднеквадратическое отклонение (СКВО)– квадратный корень из дисперсии:

σx = Dx .

Виностранной литературе эту величину называют стандартное отклонение.

1.6.Какие бывают распределения?

Существует бесчисленное множество разных распределений, но в технике применяются лишь некоторые из них.

1.6.1. Равномерное распределение

Самое простое – это равномерное распределение. Например, снег в безветренную погоду ложится на плоскую поверхность равномерно – ровным слоем, который имеет одинаковую толщину во всех точках. Обычно предполагается, что ошибка квантования непрерывных сигналов в цифровом компьютере имеет равномерное распределение. Равномерное распределение на интервале [a;b] описывается плотностью распределения

Среднее значение такой случайной величины равно x = (a +b) / 2 , а дисперсия

8

© К.Ю. Поляков, 2009

1.6.2. Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Самое важное распределение в практических задачах – нормальное распределение (распределение Гаусса), для которого график плотности распределения имеет форму колокола:

f (x)

Здесь x – среднее значение, а σ – среднеквадратическое отклонение случайной величины. Распределение Гаусса обладает несколькими замечательными свойствами:

1)сумма (и любая линейная комбинация) случайных величин с нормальными распределениями тоже имеет нормальное распределение;

2)если на величину действует множество независимых помех, ее плотность вероятности стремится к нормальному закону;

3)при прохождении случайного сигнала с нормальным распределением через линейную систему сигнал на выходе тоже имеет нормальное распределение.

Если нет никаких теоретических или экспериментальных данных о распределении случайной величины (например, шума измерений), чаще всего предполагают, что это распределение – нормальное.

1.6.3.Другие распределения

Вспециальных задачах применяют и другие распределения. Если случайная величина имеет равномерное распределение с центром в нуле, ее модуль распределен по закону Рэлея:

f (x)

Например, так распределяются высоты волн при морском волнении.

Для моделирования случайных события в компьютерных моделях используют датчики псевдослучайных чисел (они похожи на случайные, но каждое следующее вычисляется по некоторой формуле, использующей предыдущие значения). Большинство датчиков «выдают» равномерно распределенные значения, из которых с помощью математических операций можно получить другие распределения.

Например, рассмотрим сумму нескольких независимых случайных значений, равномерно распределенных на симметричном интервале [−a;a] . Можно показать, что для суммы двух чи-

сел получится треугольное распределение. Таким образом, складывая два случайных числа, по-

9

© К.Ю. Поляков, 2009

лученных со стандартного датчика с равномерным распределением, мы получим числа с тре-

При увеличении N график плотности распределения вероятностей становится всё больше похож на «колокол» нормального распределения. Доказано, что при больших N распределение суммы N чисел действительно стремится к нормальному. Более того, это справедливо для суммы большого количества независимых случайных величин с любым распределением (не обязательно равномерным).

Можно показать, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий отдельных величин. Поэтому если взять a = 0,5 , то дисперсия суммы 12 чисел, рав-

номерно распределенных на интервале [−a;a] , будет равна

Dz =12 (a −(−a))2 =1 . 12

Этот прием (сложение 12 чисел) используют для получения случайных величин с нормальным распределением и единичной дисперсией.

10