Материал: ТАУ Лекция ч2

© К.Ю. Поляков, 2009

Множитель 1/ 2π нужен для согласования единиц измерения, поскольку угловая частота ω = 2πf измеряется не в герцах, а в рад/с. Учитывая, что функция SX (ω) четная, можно интегрировать ее только при ω > 0 , а результат удвоить:

x2 = 1 ∞∫SX (ω) dω .

π 0

В теории управления нередко записывают спектральную плотность как функцию комплексной переменной s , связанной с угловой частотой по формуле s = jω (отсюда следует

s2 = −ω2 ). Хотя это не совсем корректно с точки зрения математики, мы будем использовать

2.6. Гармонический сигнал

Рассмотрим гармонический сигнал

x(t) = Asin(ω0t +θ),

где θ – случайная фаза, равномерно распределенная в интервале от 0 до 2π . Три реализации этого процесса (с разными фазами θ ) показаны на рисунке:

x(t)

Это тоже случайный процесс, однако его отличие от «классических» случайных процессов состоит в том, что зная (или определив) случайную фазу θ , мы может вычислить значение этого сигнала при любом t . Таким процессы называют квазидетерминированными. Как только фаза θ определена, процесс становится детерминированным (не случайным).

Использование формулы для усреднения по времени (1) дает

После несложных преобразований (применение формулы произведения синусов и интегриро-

вание), получим RX (τ) = A2 cosω0τ . 2

Чтобы найти спектр такого сигнала, вычислим преобразование Фурье для корреляционной функции. По таблицам находим F{cosω0τ}= π[δ(ω +ω0 ) +δ(ω −ω0 )], поэтому

SX (ω) = A22π [δ(ω +ω0 ) +δ(ω −ω0 )].

16

© К.Ю. Поляков, 2009

Это значит, что спектральная плотность состоит из двух дельта-функций для частот −ω0 и ω0 , а в остальных точках равна нулю. Действительно, с самого начала было легко догадаться, что вся энергия такого сигнала сосредоточена на одной частоте.

2.7. Белый шум

В математике для теоретических исследований иногда удобно использовать математические объекты, которые нереализуемы на практике (например, дельта-функцию). В теории случайных процессов важную роль играет белый шум5, имеющий равномерную спектральную плотность по всем частотам, то есть, SX (ω) = S0 = const . Очевидно, что при этом площадь под

кривой спектральной плотности (определяющая средний квадрат процесса) бесконечна, то есть сигнал имеет бесконечную мощность и не может существовать в природе.

Если нет никакой информации о свойствах случайных возмущений, действующих на системы, часто считают, что они приближенно описываются моделью белого шума. Если мы докажем, что даже в этом (наихудшем) случае характеристики системы останутся удовлетворительными, то они будут не хуже и при любой другой случайной помехе.

Корреляционная функция белого шума равна RX (τ) = S0δ(τ) . Действительно, преобразование Фурье сразу дает

SX (ω) = ∞∫S0 δ(τ) e− jωτ dτ = S0 .

−∞

Значения такого сигнала отстоящие по времени на любой, сколь угодно малый интервал, некоррелированы. Это означает, что нет никакой зависимости между соседними, сколь угодно близко расположенными друг к другу, отсчетами такого случайного процесса.

Корреляционная функция и спектральная плотность белого шума показаны на рисунках:

Белый шум, как сигнал с бесконечной энергией, невозможно получить на практике. При моделировании его обычно заменяют на белый шум с ограниченной полосой, который имеет равномерный спектр в полосе частот от −ω0 до ω0 , и нулевой вне этой полосы:

5 Это название связано с белым светом, спектр которого содержит все частоты видимого спектра.

17

© К.Ю. Поляков, 2009

Средний квадрат такого сигнала равен x2 = S0ω0 /π , а не бесконечности. Корреляционную функцию можно найти с помощью обратного преобразования Фурье:

Поскольку sinπk = 0 при любом целом k , корреляционная функция равна нулю при всех

τ= πk , где k ≠ 0 – любое целое число, не равное нулю. Это значит, что значения, взятые из

ω0

18

© К.Ю. Поляков, 2009

3. Оценка и моделирование случайных процессов

3.1. Оценка корреляционной функции

В прикладных задачах часто нужно определить корреляционную функцию и спектральную плотность по экспериментальным данным. При этом мы можем наблюдать и анализировать только «кусок» реализации на временном интервале от нуля до некоторого T , поэтому для невозможно использовать усреднение по ансамблю. Остается надеяться на то, что процесс эргодический, и применять усреднение по времени.

Пусть известна реализация случайного процесса x(t) на интервале от 0 до T . Для оценки (приближенного вычисления) корреляционной функции при 0 ≤τ << T (то есть при положительных τ , достаточно малых по сравнению с T ) можно использовать формулу

[0;T −τ] содержит как t , так и t +τ . К сожалению, точно вычислить этот интеграл невозможно,

в которой интеграл заменен на сумму. С теоретической точки зрения математическое ожидание такой оценки (при усреднении по ансамблю) совпадает с истинной корреляционной функцией,

то есть это – несмещенная оценка.

3.2.Оценка спектральной плотности

3.2.1.Использование оценки корреляционной функции

Предположим, что мы исследуем эргодический процесс и знаем одну реализацию x(t) на интервале от 0 до некоторого T . Выше было показано, что по этим данным можно построить оценку корреляционной функции. Если бы мы знали полностью непрерывную корреляционную функцию RX (τ) , для оценки спектральной плотности можно было бы использовать преобразование Фурье (формулу (2)):

∞

ˆ ω = ∫ ˆ τ ωτ τ

SX ( ) 2 RX ( ) cos d .

0

ˆ∆

Вреальности известны лишь значения RX (i ) в отдельных точках, поэтому последнюю формулу нужно перевести в дискретный вид, заменив интеграл на конечную сумму:

i=0

Этот метод оценки спектральной плотности называют методом Блэкмана-Тьюки.

19

© К.Ю. Поляков, 2009

К сожалению, такой подход не всегда дает удовлетворительные результаты. Дело в том, что мы знаем только часть корреляционной функции, для значений τ от 0 до τm = M∆ . Эта не-

полнота знаний может очень существенно влиять на результаты оценки спектра, вплоть до того, что вычисления по формуле (4) могут дать для некоторых частот отрицательные значения спектральной плотность. Этого не может быть в принципе, потому что мощность сигнала (и любой его составляющей) не может быть отрицательной.

3.2.2. Окна

Чтобы исправить ситуацию, нужно как-то «сгладить» незнание корреляционной функции при больших τ и сделать оценку спектральной плотности более надежной. Для этого используются так называемые «окна» – четные функции, на которые умножается корреляционная функция перед тем, как применить к ней преобразование Фурье. Одно из простейших «окон» – окно Хэмминга:

На рисунке слева показано окно Хэмминга, а справа – исходная оценка корреляционной функ-

Ясно видно, что применение этого окна (и других тоже) практически не изменяет форму корреляционной функции при малых τ , но сглаживает все выбросы при больших τ , которые, скорее всего, вызваны случайными ошибками.

Для оценки спектральной плотности с учетом окна w(τ) применяют формулу, аналогич-

ную (4):

i=0

Не стоит печалиться по поводу того, что окно вносит дополнительное искажение. Так или иначе, «окно» используется всегда. Фактически, усекая корреляционную функцию, мы применяем прямоугольное окно:

w (τ) = 1, τ ≥τm r 0, τ <τm .

На следующем рисунке показаны оценки спектра сигнала, полученные при использовании прямоугольного окна ( SX (ω) , синяя линия) и окна Хэмминга ( SXh (ω) , красная линия).

20