Дипломная работа: Статистика тарифообразования в страховании

Наблюдаемое значение меньше критического, значит, с вероятностью ошибки 5% гипотеза о линейности модели не отвергается.

Тест Бокса-Кокса состоит в преобразовании масштаба наблюдений переменной У, для обеспечения возможности сравнения RSS линейной и логарифмических моделей. Сначала вычисляется среднее геометрическое значение У в выборке. Оно совпадает с экспонентой среднего арифметического logУ. Затем пересчитываются значения У, они делятся на среднее геометрическое У. После этого оцениваются регрессии как в линейной, так и в логарифмической модели. Таким образом, можно сравнивать сумму квадратов остатков (ЕSS). Чем сумма меньше, тем модель лучше. Для построенной модели были получены следующие результаты:

Так как ч²_набл > ч²_кр, то различия между моделями значимы, но сумма квадратов остатков линейной модели (ESS_lin = 31,615) немногим меньше, чем у логлинейной модели (ESS_log = 35,185), значит, лучше использовать линейную модель.

Таким образом, для анализа удобнее использовать простую линейную модель, так как результаты проведенных тестов показывают, что она оказывается лучше по ряду параметров.

3.4 Спецификация ошибок регрессионной модели

Ошибки регрессии - это разности между наблюдаемыми значениями и значениями, предсказанными изучаемой регрессионной моделью. В данной работе ошибки регрессии были протестированы на соответствие различным критериям.

В первую очередь ошибки требуется проверить на нормальное распределение. Обычно в расчет берется предположение, что ошибки распределены нормально, т.е. проверяется гипотеза: Н: е~N(0, у²I). Для проверки гипотеза используется критерий Жарка-Бера:

Результаты расчетов представлены в таблице (П.2.Рис.3):

Таким образом, гипотеза о нормальности остатков не отвергается с вероятностью ошибки 5%.

После этого была проведена проверка данных на гетероскедастичность. С помощью теста Бреуша-Пагана-Готфрида была проверена гипотеза о наличии гетероскедастичности ошибок в полученной регрессионной модели. В данном тесте проверяется линейная зависимость дисперсии случайных ошибок от некоторого набора переменных и сравнивается со статистикой Хи-квадрат:

Для построенной модели были получены следующие результаты:

Так как наблюдаемые значения меньше критического, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности не отвергается с вероятностью ошибки 1%.

Кроме этого, ошибки регрессионной модели были проверены на наличие автокорреляции. Для проверки были выведены значения автокорреляционной и частной автокорреляционной функции остатков (П.2.Рис.4). По графику видно, что все значения находятся в пределах доверительного интервала, что означает, что автокорреляции в остатках не наблюдается.

Таким образом, в данной главе было рассмотрено влияние различных экономических и социально-экономических факторов на объёмы страховых поступлений в различных регионах РФ. Методом пошагового исключения переменных была выбрана модель, которая представляет собой зависимость объёмов страховых поступлений на душу населения от следующих факторов: вклады физических лиц на рублевых счетах в Сберегательном Банке РФ на душу населения, ожидаемая продолжительность жизни при рождении и коэффициент демографической нагрузки. Модель объясняет около 29,1% вариации исследуемого признака.

Последующее изучение построенной модели показало, что линейная форма является наиболее оптимальной и лучше других описывает исследуемую зависимость. Кроме того, ошибки регрессии соответствуют всем требованиям: автокорреляции и гетероскедастичности не обнаружено, распределение ошибок является нормальным.

ГЛАВА 4. АНАЛИЗ ТАРИФОВ В РАЗЛИЧНЫХ ДОГОВОРАХ СТРАХОВАНИЯ ЖИЗНИ

4.1 Теоретические аспекты расчета тарифов

В страховании жизни денежные суммы выплачиваются при наступлении различных событий в жизни застрахованного человека. Исходя из того, что данные события являются случайными, для успешной деятельности страховой компании расчёт тарифов включает в себя несколько этапов.

На первом этапе приводится анализ таблиц смертности и расчёт основных показателей демографической статистики. На втором этапе, используя полученные вероятностные оценки наступления различных демографических событий, производится расчёт стоимости выбранных договоров страхования.

В первую очередь таблица смертности включает в себя показатель, который отражает число людей, доживающих до возраста x: l_x. Корнем таблицы считается значение l₀, которое обозначает число родившихся. Обычные значения для l₀: 1 млн., 10 или 100 тыс., но оно может быть и произвольным числом. В данной работе числу родившихся присвоено значение 100 тысяч. Заканчиваются таблицы смертности строкой, соответствующей предельному возрасту, в демографической статистике обозначаемому символом щ. В разных таблицах этот возраст может быть различным, однако для нашего исследования предельный возраст составляет 100 лет.

Также не менее важной характеристикой является величина d_x, которая отражает число умерших в промежутке между годами x и (x+1) своей жизни и рассчитывается по следующей формуле:

Для актуарных расчётов огромную значимость представляет собой величина q_x, которая показывает долю тех из числа достигших возраста x, кто умрет в течение одного года, т.е. в промежутке между x и (x+1). Данный показатель рассчитывается следующим образом:

Стоит заметить, что если величину q_x сравнить с единицей, можно получить оценку доли тех из числа l_x, которые уже достигли возраста х и при этом доживут до возраста (х+1). Эта величина представляет собой условную вероятность прожить еще один год по достижении возраста x.

Также для осуществления актуарных расчётов важным является показатель средней продолжительности жизни, которая рассчитывается следующим образом:

Таким образом, демографическая статистика позволяет оценить численность населения той или иной возрастной группы, проследить изменение данных показателей во времени, то есть с учетом старения населения, а также проследить за вероятностными показателями, которые составляют прочную основу для проведения расчётов тарифов по договорам страхования жизни.

Кроме демографических расчётов, в актуарной математике учитываются процентные ставки, которые позволяют оценить справедливую стоимость контракта в заданный период времени. Для этого модели включают в себя дисконтный множитель, соответствующий процентной ставке i и рассчитывающийся по формуле:

При этом принято считать, что страховая сумма является единицей - таким образом, рассчитанная премия будет указывать относительную долю, которую она составляет в страховой сумме. Кроме того, для упрощения вычислительной работы при актуарных расчетах были введены так называемые коммутационные функции, которые строятся исходя из заданной таблицы смертности и при заданных значениях процентной ставки.

После знакомства с вспомогательными формулами можно перейти к описанию методов расчёта непосредственно тарифов в различных договорах страхования.

Страхование на дожитие

Страхование на дожитие, по сути, является страхованием заданной суммы денег на заданный срок. При этом, страховое событие, влекущее выплату страховой суммы, состоит в дожитии застрахованного до конца указанного срока. В случае смерти застрахованного в период действия контракта сумма не выплачивается и премия не возвращается. При этом, если n - срок контракта, а х - возраст застрахованного лица, то формула для расчёта стоимости контракта приобретает следующий вид:

Стоит отметить, что страхование на дожитие редко используется изолированно, так как он делает страховой полис относительно дорогим, если срок страхования не очень большой, однако довольно часто данный вид страхования является составной частью других контрактов.

Пожизненное страхование

Пожизненное страхование на случай смерти предусматривает выплату страховой суммы после смерти застрахованного лицу, указанному в контракте - бенефициарию. Таким образом, для застрахованного лица в возрасте х упрощенная формула для расчета актуарной стоимости будет иметь вид:

Стоит отметить, договоры страхования жизни могут отличаться достаточно высокой стоимостью, поэтому очень мало полисов оплачиваются единовременно. Чаще оплата производится регулярными, например, ежегодными выплатами в течение всей жизни застрахованного. Таким образом, для договора пожизненного страхования величина ежегодной премии составляет:

Важным является тот факт, что вычисление величины ежегодной премии выполняется при условии ее постоянства в течение всей жизни.

Смешанное страхование

Смешанное страхование представляет собой комбинацию срочного страхования жизни и страхования на дожитие с тем же сроком. Более точно в контрактах этого вида указан срок n, так что страховая сумма выплачивается в двух случаях:

1. Бенефициарию, если застрахованный возраста x не доживет до (x+n) лет.

2. Застрахованному, если он дожил до возраста (x+n)

Для расчета актуарной стоимости смешанного контракта используется следующее выражение:

В случае оплаты смешанного страхования ежегодными премиями в начале года, стоимость ежегодных выплат находится при помощи следующего выражения:

В ходе рассмотрения теоретических основ страхования жизни мы убедились, что на первом этапе очень важным является проведение расчёта демографических показателей для анализа частоты наступления различных демографических событий среди различных возрастных групп населения. Затем на основе полученных данных представляется возможным вычисление тарифов в различных договорах страхования по найденным выражениям.

Таким образом, полученная информация позволит провести расчеты тарифов по трем выбранным моделям страхования жизни (страхование на дожитие, пожизненное страхование и смешанное страхование) и сравнить их между собой.

4.2 Анализ демографической ситуации в исследуемых регионах

При страховании жизни случайной величиной, определяющей различия в тарифах, является время жизни страхователя. При этом, так как относительно момента смерти отдельного человека нельзя сказать ничего определенного, в демографической статистике принято анализировать большие однородные группы людей. Страхование жизни также основано на принципе анализа продолжительности жизни как случайной величины, поэтому прежде чем приступать к расчету тарифов, следует изучить демографическую ситуацию в выбранных регионах.

Для анализа были взяты данные по населению следующих субъектов: город Москва, город Санкт-Петербург, села Московской области и села Ленинградской области. Так как основным показателем для применения в актуарных расчетах является вероятность умереть в определенном возрасте, проведем сравнительный анализ данной величины по выбранным субъектам.

Известно, что продолжительность жизни различных социальных групп во многом обусловлена такими факторами, как образ жизни, характер деятельности, структура и объемы потребления, а также многими другими экономическими и социальными обстоятельствами. Одной из главных демографических характеристик, определяющих уровень смертности, является пол, поэтому прежде всего рассмотрим различия в продолжительности жизни российских мужчин и женщин. Интересно, что в настоящее время Россия занимает первое по этому разрыву место среди стран, которые проводят открытую публикацию статистику смертности. Рассмотрим вероятности смерти среди городских жителей (рис.9).

Рис.9. Динамика вероятности смерти в Москве и Санкт-Петербурге, 2013г.

Нетрудно заметить, что в обоих городах наблюдается схожая картина дифференциации вероятности смерти по полу. До возраста примерно 83-85 лет риск смерти среди женщин значительно ниже, чем тот же показатель для мужчин. Однако после достижения человеком данного возраста картина резко изменяется, и теперь уже вероятность умереть для женщины показывает значительное превышение над риском смерти мужчин.

В принципе, превышение мужской смертности над женской в той или иной мере характерно для всех экономически развитых или развивающихся стран. Данная тенденция сложилась исторически в связи с общим улучшением санитарно-гигиенических условий, в особенности с улучшением условий для материнства и снижением бремени чрезмерной рождаемости, а также повышением общественного статуса женщины. Известно также, что различия в смертности по полу гораздо существеннее, чем зависимость от образования, занятия, брачного статуса или места жительства. Для подтверждения данного суждения приведем также сравнение вероятности смерти по полу среди сельских жителей Московской и Ленинградской областей (рис.10).

Рис.10. Динамика вероятности смерти в Московской и Ленинградской обл., 2013г.

Действительно, картина несущественно отличается от представленной ранее: вероятность смерти у женщин несколько ниже, чем у мужчин. Также прослеживается наличие «критического» возраста, после которого наблюдается обратный тренд. Однако стоит отметить, что среди сельских жителей смертность в преклонном возрасте (от 90 и старше) практически не дифференцируется по полу, что можно объяснить более низким уровнем жизни, малой доступностью медикаментов и удаленностью от высокотехнологичных медицинских учреждений.