Материал: Производительность скважин при заводнении

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Лапласом, Рэлеем и Томсоном. Для того чтобы решить уравнение пьезопроводности (то есть найти динамику давления в каждой точке пласта в любой момент времени – найти

достаточно проинтегрировать соответствующее фундаментальное решение по времени.

В некоторых случаях, например, если необходимо решить уравнение пьезопроводности для цилиндрического поверхностного стока или источника – можно воспользоваться методом интегрирования соответствующего фундаментального решения по координате [1], тем самым получив фундаментальное решение для стока

(поверхностного или протяженного) сложной формы.

1.3.2. Свойство автомодельности

Некоторые задачи теории неустановившейся фильтрации можно решить, используя свойства автомодельности (если таковые имеются в данной задаче). Согласно [11]

определение автомодельности звучит следующим образом: «Явление, развивающееся во времени, называется автомодельным, если распределения его характеристик в разные моменты времени получаются одно из другого преобразованием подобия». Г.И.

Баренблатт в своей монографии [11] успешно использовал свойства автомодельности при интегрировании как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений (в случае нелинейных дифференциальных уравнений имеет место введненная Баренблаттом так называемая «автомодельность второго рода»).

В самом простом случае свойство автомодельности заключается к возможности свести уравнение в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями от нескольких переменных, например, от времени и координаты, к уравнению от безразмерной комбинации этих переменных, в уравнении при этом уменьшится количество переменных. В частности, уравнение пьезопроводности для прямолинейно-

параллельного потока (если записать его относительно перепада давления):

обладает свойством автомодельности. Введя замену переменных:

- 8 -

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

дифференциальному уравнению:

1.3.3. Метод Фурье разделения переменных

Также в некоторых случаях при интегрировании уравнения пьезопроводности можно воспользоваться методом разделения переменных. Суть метода заключается, в том что от уравнения пьезопроводности, выполнив соответствующую замену переменных, можно перейти к двум дифференциальным уравнениям, называемыми сопряженными данному,

имеющим более простой вид. Решение при этом ищется в виде:

То есть искомая функция представляется в виде произведения функции, зависящей только от времени и функции, зависящей только от координат (откуда и пошло название метода).

В простых случаях – мы можем сразу найти вид функций r и t . В более общем случае – необходимо воспользоваться свойством линейности уравнения пьезопроводности, а именно – искать общее решение в виде суммы сходящегося ряда частных решений. Подробное описание метода разделения переменных можно найти в [1], [2] и [5].

1.3.4. Метод интегральных преобразований

При решении неавтомодельных задач теории неустановившейся фильтрации крайне полезны методы операционного исчисления – различные интегральные преобразования. С

помощью таких преобразований интегрирование уравнений в частных производных сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений.

В общем случае интегральное преобразование имеет вид [9], [12]:

уравнение имело более простой вид. Предполагается, что существует формула обращения:

- 9 -

контурным.

Широкое распространение при решении задач неустановившейся фильтрации получило преобразование Лапласа, задаваемое следующей формулой [12], [9]:

Математически смысл решения с помощью преобразования Лапласа заключается в переходе уравнения пьезопроводности и соответствующих граничных и начальных условий в пространство Лапласа, где уравнение имеет более простой вид, затем – получению решения в пространстве Лапласа, а затем в обратном переходе в обычные координаты с помощью обратного преобразования Лапласа.

Иногда произвести аналитическое интегрирование (1.23) для обратного преобразования Лапласа – крайне тяжело, поэтому для практических целей иногда удобно пользоваться численным обратным преобразованием Лапласа [13], например, в задачах с граничными условиями 4-го рода – по построению модели работы многопластовой скважины [14].

Рассмотрим применение преобразования Лапласа на примере интегрирования одномерного уравнения пьезопроводности для плоскорадиального случая (1.4).

Перейдем в новые координаты и все формулы запишем относительно понижения давления (это делается для того, чтобы обнулить начальные условия (1.5)):

Из формулы (1.24) нетрудно получить важное свойство преобразования Лапласа:

- 10 -

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

1.3.5. Исследование потенциальных течений с помощью методов функций теории комплексного переменного

Если характеристики фильтрационных потоков не меняются со временем

(стационарны), то распределение давления описывается уравнением Лапласа (которое получается из уравнения пьезопроводности, если предположить, что производная по времени равна нулю):

Такие режимы фильтрации называются установившимися. При двумерном установившемся потоке в изотропных однородных коллекторах многие задачи фильтрации могут быть решены с помощью мощного математического аппарата комплексного анализа. Здесь мы не будем на этом останавливаться. Весьма подробно методы теории функций комплексного переменного (ТФКП) разобраны в [15]. В

приложениях к теории установившейся фильтрации также широкий круг задач (в том числе задачи площадного заводнения), с использованием методов ТФКП был решен Маскетом в его монографии [17]. Также полезно изучить по этой теме книги [16], [9].

1.3.6. Численные методы

Существует также численные методы решения уравнения пьезопроводности. Одни из широко применяемых – конечно-разностные методы. Суть метода заключается в следующем: пусть дана область, в которой хотим найти решение уравнения пьезопроводности. На границе этой области заданы граничные условия, например это могут быть условия: (1.6) – (1.11). В области задано начальное условие, например (1.5).

Область – пусть это будет интервал (a,b) – в одномерном случае, разбивается на J

отрезков, интервал времени, в котором ищется решение, – также разбивается на N

отрезков. Исходное уравнение заменяется при этом разностным уравнением, например:

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Уравнение (1.29) получается из исходного – при использовании разложения функции в ряд Тейлора:

решением в этих узлах с некоторой погрешностью, которая зависит от величины шага по времени и мелкости разбиения данной области. Для того чтобы полученное решение было устойчивым, необходимо выполнение специальных условий, называемых критериями устойчивости, и вносящих ограничение на связь между шагом по времени и мелкости разбиения [18]. Широкое представление о численных методах можно найти в книгах [18], [19].

1.3.7. Принцип суперпозиции

Уравнение пьезопроводности является линейным уравнением. Решения этого уравнения соответствуют принципу суперпозиции. Это означает, что для того чтобы посчитать давление в произвольной точке пласта, который вскрывают 2 и более скважин,

необходимо просто сложить решения для разных скважин, как показано на Рисунок 1.1.

Используя принцип суперпозиции, можно смоделировать остановку скважины, переход скважины на другие режимы работы.

- 12 -