Материал: Производительность скважин при заводнении

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

1.Математические модели и математический аппарат теории фильтрации

1.1. Уравнение пьезопроводности

Для описания процессов фильтрации жидкости в пласте используют математическую модель, в основе которой лежат несколько предположений: 1) добыча происходит на упругом режиме фильтрации, то есть допустимо считать, что в обычных интервалах изменения пластового давления плотность жидкости и пористость среды линейно зависят от давления [1]; 2)скорость фильтрации прямо пропорциональна градиенту давления,то есть выполняется закон Дарси:

При вышеизложенных предположениях распределение давления в пласте в любой момент времени описывается с помощью уравнения пьезопроводности, которое в случае

наличия анизотропии по проницаемости имеет вид [1]:

пористой среды.

В случае наличия распределенных стоков и источников в фильтрационном потоке уравнение пьезопроводности примет следующий вид:

Рассмотрим скважину в центре однородного изотропного кругового пласта с отсутствием непрерывно распределенных стоков и источников (см. Рисунок 1.1), в случае наличия плоскорадиальной симметрии уравнение (1.3) имеет вид [1]:

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

re

Рисунок 1.1. Скважина в центре однородного изотропного кругового пласта

1.2. Начальные и граничные условия

Как уже было сказано, процесс фильтрации описывается уравнением пьезопроводности. Решение задачи фильтрации в однофазном случае в какой-либо области сводится к задаче решения соответствующего уравнения пьезопроводности, то

частных производных также называется интегрированием этого уравнения. Для того чтобы проинтегрировать уравнение пьезопроводности, необходимо также знать граничные и начальные условия [2].

Начальное условие заключается в задании начального распределения давления в пласте (то есть распределение давления на момент пуска скважины в работу), обычно считают, что пласт вначале невозмущен – когда давление во всех точках пласта одинаково

и равно начальному среднему пластовому давлению:

Граничные условия задаются на скважине и на границах пласта. На границах пласта чаще всего рассматриваются так называемые условия 1-го и 2-го родов [2]. Граничное условие 1-го рода – это условие поддержания постоянного давления на данной границе,

- 4 -

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Граничные условия 2-го рода – это условия поддержания постоянного значения производной давления, то есть поддержания постоянного потока через границу пласта.

Это условие используется, в частности, при описании пластов с отсутствием перетока через границу (значение производной в этом случае равно нулю):

Также, как будет показано далее, данное условие может быть использовано при описании поведения скважины на псевдоустанвившемся и установившемся режимах в системе разработки.

Существуют еще граничные условия 3-го рода – условия связи давления и производной давления по координате (то есть связь между давлением и потоком через границу пласта)[5]:

В системе заводнения для корректного описания процесса взаимодействия скважин,

как на неустановившемся, так и на псевдоустановившемся и установившемся режимах необходимо использовать, как будет показано далее граничные условия 4-го рода [3],[4] –

условия сопряжения зоны закачки и зоны добычи. Конкретный вид данных граничных условий будет рассмотрен далее.

Также необходимо задать граничное условие на скважине. В зависимости от задания граничного условия на скважине, математические модели работы скважины классифицируются на модели постоянного давления и модели постоянного дебита. В

случае, когда на скважине поддерживается постоянное забойное давление (граничное условие 1-го рода), используется модель постоянного давления, а граничное условие выглядит следующим образом:

где pwf - забойное давление.

Модель постоянного дебита используется, соответственно, когда на скважине задано

условие 2-го рода – поддерживается постоянный дебит и представляет собой закон фильтрации Дарси .

w

где qs - дебит в поверхностных условиях, h - мощность пласта, Bo - объемный коэффициент.

- 5 -

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

где Cs - коэффициент послепритока.

Модель постоянного дебита лучше применять, если имеется технические

ограничения по добыче: это может быть предельная пропускная способность поверхностного обустройства, законодательные ограничения на максимальный дебит.

Модель постоянного давления лучше применять в долгосрочном режиме работы скважины, когда дебит меняется сильно, а забойное давление остается приблизительно на одном уровне.

Необходимо упомянуть, что вообще говоря, на скважине меняется как забойное давление так и дебит, поэтому корректнее предположить, что дебит связан с давлением некоторой связью, например – в некоторых случаях с большой точностью можно аппроксимировать эту связь – линейной зависимостью (в первом приближении). Работа скважины с граничным условием 3-го рода, то есть с условием линейной связи забойного давления с дебитом рассматривается в статье [7]. Также есть ряд публикаций,

посвященных работе скважины при условии, что их дебит – есть некоторая функция

1.3. Способы интегрирования уравнения пьезопроводности

Существуют различные способы нахождения решений уравнения пьезопроводности.

Широкий обзор методов решения уравнения пьезопроводности можно найти в книгах [9], [1], [10], а также [2].

1.3.1. Фундаментальные решения

Рассмотрим одномерные потоки. В «одномерных» потоках все характеристики потока (давление, скорость фильтрации и т.д.) зависят не более чем от одной координаты.

Примерами одномерных потоков могут служить: 1) Прямолинейно-параллельный поток 2)

Плоскорадиальный поток (рисунок) 3) Сферический радиальный.

- 6 -

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Линии тока

Лини тока

X

в)

Линии тока

Изобары

Рисунок 1.2. Одномерные потоки в пространстве: а) одного б) двух и в) трех измерений.

В этих простейших случаях интегрирование уравнения пьезопроводности для точечного источника в бесконечном пласте сводится к интегрированию по времени фундаментального решения, которое математически описывается формулой для случаев пространства одного, двух и трех измерений следующими формулами [1], [2], [5]:

Физический смысл фундаментальных решений заключается в том, что они представляют собой распределение падения давления в бесконечном пласте в любой момент времени после мгновенного включения в пространстве соответственно бесконечного плоского, бесконечного линейного или точечного источника или стока [1].

Фундаментальные решения уравнения пьезопроводности были впервые получены

- 7 -