Материал: Погорелов В.И.-Прочность и устойчивость тонкостенных конструкций

ТЗП уменьшается настолько, что на меньших высотах реализуется третий этап прогрева, который характеризуется тем, что толщина покрытия остается постоянной, наружные слои охлаждаются, а внутренние продолжают прогреваться. Рассмотрим сначала процесс прогрева покрытия на первом этапе.

6.3.1. Метод конечных разностей

Предположим, что процесс прогрева покрытия одномерный, излучающие свойства ТЗП не зависят от температуры. Тогда задача о распространении тепла в стенке может быть сформулирована следующим образом.

Уравнение теплопроводности:

Граничное условие на поверхности, обращенной к воздуху:

где qк – конвективный поток; qл – лучистый поток, поступающий к стенке; qw – лучистый поток, излучаемый стенкой.

Граничные условия на внутренней стороне покрытия в предположении о том, что к моменту достижения температуры уноса Тр – толщина прогретого слоя y меньше толщины покрытия:

Разобьём толщину δ на равные участки длиной ∆x и представим (6.4) в конечных разностях, обозначив верхним индексом момент времени, а нижним узел по x:

= Tin+1 − 2Tin +Tin−1, откуда

74

Разностная схема (6.7) явная, поэтому она устойчива только при ограничениях на шаг по времени. В данном случае необходимо принимать P ≥ 2 . Особенно простой вид расчетная форму-

ла (6.8) для внутренних узлов разностной сетки принимает при p=2, когда температура узла i в момент времени (t+∆t) равна:

Расчет температуры в граничных узлах 1 – при x=0 и N при x=δ ведётся по формулам, получаемым из условий (6.5) и (6.6). Обозначив температуру в узле 1 индексом w, т.e. T1=Tw, получим из (6.5)

Так как тепловые потоки в (6.10) зависят от температуры Tw нелинейно, то эти уравнения на каждом шаге по времени решаются одним из численных методов (итераций, методом Ньютона и т.д.). На второй границе, в узле N, используется условие (6.6):

(TNn+1 −TNn+−11 ) x = 0 из которого и следует, что температуру TN необходимо принимать равной температуре в предыдущем узле, т.е.

Алгоритм расчета температуры в узлах сетки по толщине покрытия может быть следующим.

1.Профиль температуры в первоначальный момент времени, т.е. при t=0, известен, поэтому из (6.8) или (6.9) определяем температуры во всех узлах, кроме граничных, т.е. 1 и N.

2.Так как T2n+1 известна, то, решая нелинейное алгебраиче-

ское уравнение (6.10), находим температуру поверхности Twn+1 .

3.Температуру в нижнем граничном узле N определяем из условия (6.11).

4.Теперь профиль температуры известен в момент времени (t+∆t), поэтому можно сделать следующий шаг по времени до

того момента, когда температура поверхности покрытия Tw станет равной температуре уноса Tp .

Тепловые потоки в (6.10) определяются по формулам, приведенным в [23], с учетом зависимости от времени, а параметры

75

потока, обтекающего головной отсек, из расчета его движения по траектории.

6.3.2. Приближённый расчет прогрева ТЗП

Метод конечных разностей позволяет определить распределение температуры в покрытии с любой заранее заданной точностью. Однако для стадии проектных расчетов метод неоправданно трудоемок, что связано с решением нелинейного алгебраического уравнения (6.10) на каждом шаге по времени. Для оценки времени прогрева ТЗП до температуры уноса, толщины прогретого слоя и распределения температуры внутри него можно получить простые аналитические соотношения, если воспользоваться следующими допущениями.

1.Излучением газа и стенки можно пренебречь, а конвективный тепловой поток определять по формуле qк = α(Tr −Tw ) .

2.Коэффициент теплоотдачи α и температура восстановле-

ния газа Tr считаются постоянными и равными соответствующему значению в точке траектории, соответствующей тепловому апогею.

3.Теплофизические свойства покрытия не зависят от температуры.

4.Профиль безразмерной температуры в пределах прогретого слоя описывается зависимостью (рис. 36)

где θw = Tw Tr – безразмерная температура поверхности, зависящая от времени; ξ = x y – безразмерная координата; y – толщина

прогретого слоя.

С учетом первого и второго допущений граничное условия (6.5) принимает вид

или в безразмерных переменных:

76

Для определения безразмерной толщины прогретого слоя η воспользуемся уравнением теплопроводности (6.4), интегрируя его по x от 0 до y с учетом того, что коэффициент температуропроводности a = λ/ρc :

На основании граничных условий первое слагаемое в правой части (6.15) равно нулю, а второе – конвективному потоку на поверхности покрытия. Кроме того,

так как температура на границе тепловой волны, т.е. при x = y, равна нулю. Тогда (6.15) с учетом (6.16) после подстановки профиля температуры (6.12) принимает вид

или, после интегрирования, введения безразмерных переменных

Дифференцируя (6.14), а затем подставляя результат и выражение (6.14) в (6.17), получаем

77

Интегрируя (6.18) с начальным условием F0 = 0 при η= 0 ,

получаем выражение для расчета безразмерного времени (критерия Фурье) прогрева покрытия на безразмерную глубину η:

Расчет прогрева проводится в следующем порядке.

1.По известной температуре уноса Tp и температуре восстановления определяется θp =Tp Tr .

2.Из формулы (6.14), преобразованной относительно η, определяется безразмерная глубина прогретого слоя покрытия:

3. Подставляя (6.20) в (6.19), определяем критерий Фурье, а затем и время нагрева покрытия до температуры Tp на его по-

верхности: tp = F0 δ2 а.

6.4. Скорость уноса теплозащитного покрытия

На втором этапе нагрева покрытия, начинающегося с момента достижения температуры уноса на его поверхности, наружные слои покрытия уносятся, а внутренние продолжают прогреваться. Задача о распространении тепла в этом случае формулируется следующим образом.

Уравнение теплопроводности в системе координат, связанной с поверхностью покрытия до его разрушения,

физико-химические превращения в ТЗП.

78