Материал: нефти и газа

Рис. 8. К задаче 4.15

4.16. Гардеробщица выдала номерки четырем джентльменам, сдав-

шим свои цилиндры, но затем перепутала головные уборы и повесила их наугад. Найти вероятности событий:

A – каждый джентльмен получит свой цилиндр;

B – ровно три джентльмена получат свой цилиндр;

C – ровно два человека получат свой головной убор;

D – ровно один получит свой цилиндр;

E – никто не получит своего цилиндра.

4.17. Какое из двух событий более вероятно: событие А – при одно-

временном бросании 4 игральных костей появится хотя бы одна

«единица» или событие В – при 24 бросаниях двух костей хотя бы один раз выпадут две «единицы»?

4.18. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет «орел». Определить вероятности выигрыша для каж-

дого игрока.

4.19. Три человека по очереди подбрасывают монету. Тот, у кого раньше выпадет «решка», выигрывает. Какова вероятность выигрыша каждого из игроков?

40

4.20.Двое поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у

кого раньше выпадет «шестерка». Определить вероятности выигрыша для первого и для второго игроков.

4.21.Вероятность получения студентом Н.Ч. положительной оценки на экзамене равна 0,2. Сколько пересдач потребуется студенту Н.Ч.

для того, чтобы сдать экзамен с вероятностью, большей 0,8?

4.22. Студент может сдать экзамен по математике с вероятностью 0,5.

Если он воспользуется шпаргалкой, то его шансы повысятся до 0,7.

Однако с вероятностью 0,3 шпаргалка будет обнаружена, и студента с экзамена удалят. Звонок другу повысит вероятность сдачи до 0,8. Од-

нако в этом случае с вероятностью 0,25 он будет застигнут за этим неблаговидным занятием, а на пересдаче его шансы понизятся в два раза. Как лучше поступить студенту?

4.23. В целях экономии государственных средств Иван-царевич ре-

шил, что он должен жениться на девушке, день рождения которой совпадает с его днем рождения. Сколько девушек ему придется опро-

сить, чтобы среди них оказалась хотя бы одна потенциальная невеста с вероятностью не менее 0,5?

41

5. Формула полной вероятности. Формула Байеса

сли событие А может наступить только при появлении одного из Енесовместных событий (гипотез) Н1, Н2, …, Нn, образующих полную группу, то вероятность события А вычисляется по формуле

полной вероятности:

n

P( A) P(Hi )P( A / Hi )

i 1

где Р(Нi) – вероятность гипотезы Нi (очевидно, что должно выпол-

n

нятся равенство P(Hi ) 1 ). Вероятность Р(А/Нi) представляет со-

i 1

бой условную вероятность наступления события А, если гипотеза Нi

верна.

С формулой полной вероятности связана формула Байеса, по-

зволяющая «переоценить» вероятности гипотез Н1, Н2, …, Нn, если известно, что в результате опыта событие А произошло. А именно,

если вероятности гипотез до опыта (априорные вероятности) были

Р(Н1), …, Р(Нn), а в результате опыта произошло событие А, то ус-

ловные вероятности гипотез (апостериорные вероятности) мо-

гут быть найдены по формулам:

42

где вероятность события А находится по формуле полной вероятно-

сти:

n

P( A) P(Hi )P( A / Hi ) .

i 1

(При этом, поскольку события Н1, Н2, …, Нn несовместны и образу-

ПРИМЕР 1. В одной урне лежат 6 белых и 4 черных шара, в

другой – 4 белых и 3 черных. Из 1-й урны наудачу переложили во 2-

ую урну один шар, а после перемешивания из 2-ой урны наудачу дос-

тали один шар, который оказался белым. Какова вероятность: а) что из первой урны во вторую был переложен белый шар? б) что выну-

тый из 2-ой урны белый шар первоначально находился в первой ур-

не?

Рис. 9. К примеру 1

Решение. а) Пусть событие А – из второй урны вынут белый шар. Рассмотрим две гипотезы: гипотеза Н1 – из первой урны был пе-

реложен белый шар, гипотеза Н2 – был переложен черный шар. Вы-

43

В случае выполнения гипотезы Н1 во второй урне оказываются 5 бе-

лых и 3 черных шара, поэтому условная вероятность вынуть белый

шар из второй урны равна P( A / H1) 5 . При реализации гипотезы Н2

8

во второй урне оказываются 4 белых и 4 черных шара, и условная ве-

роятность вынуть белый шар равна P( A / H2 ) 84 12 .

По формуле полной вероятности получаем:

P( A) P(H1)P( A / H1) P(H2 )P( A / H2 ) 4023 .

Теперь по формуле Байеса можно найти вероятность гипотезы

Н1 (из 1-й во 2-ую урну был переложен белый шар) при условии, что произошло событие А (из второй урны вынут белый шар):

б) Для нахождения вероятности того, что вынутый белый шар первоначально находился в первой урне, удобно считать, что на всех белых шарах в первой урне поставлена метка (рис. 9). Рассмотрим два несовместных события: B1 – из второй урны вынут белый шар с мет-

кой, B2 – вынут белый шар без метки. Тогда событие А (из 2-й урны вынут белый шар) представляет собой сумму событий B1 и B2:

A B1 B2. В задаче требуется найти условную вероятность события

B1 при осуществлении события А. Имеем по формуле Байеса:

44