Материал: нефти и газа

4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Для нахождения вероятности результата операций над события-

ми используется ряд теорем.

Вероятность суммы двух событий А и B находится по фор-

Формулы (1) также называют теоремой сложения вероятностей.

Если события А1, А2, ….., Аn попарно несовместны, то вероят-

ность их суммы равна сумме вероятностей самих событий (обобще-

ние формулы 1б):

n

P( A1 ... An ) P( An ) .

k 1

Вероятность противоположного события А определя-

ется по формуле

P( A) 1 P( A)

Вероятность наступления события А при условии, что произошло событие B, называется условной вероятностью и находится по формуле

P( A / B) P( A B) .

P(B)

30

Из формулы для условной вероятности следует теорема ум-

ножения вероятностей двух событий:

Р( А B) P(B)P( A B) P( A)P(B A)

События А и B называются независимыми, если условные ве-

роятности совпадают с соответствующими безусловными, т.е.

Р(A) = P(A /B) и P(B) = P(B/A).

Для независимых событий А и B вероятность произведения равна произведению вероятностей:

P( A B) P( A)P(B)

Для вычисления вероятности произведения n событий А1, …, Аn, (n > 2) используется формула

P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 / A1) P( A3 / ( A1A2 )) P( An / ( A1A2 An 1))

Если события А1,…,.Аn независимы, то вероятность их произве-

дения равна произведению вероятностей:

P(A1 A2 … An)=P(A1) P(A2) P(A3) … P(An). P( A1) P( A2 ) P( A3)

ПРИМЕР 1. В одной урне лежат 5 белых и 10 красных шаров, в

другой урне – 10 белых и 5 красных шаров. Из каждой урны вынули по одному шару. Найти вероятность того, что хотя бы один из выну-

тых шаров ‒ белый.

Решение. Пусть событие А – из первой урны вынут белый шар,

событие B из второй урны вынут белый шар. Решим задачу двумя способами.

31

1-й способ. Интересующее нас событие С – хотя бы из одной урны вынут белый шар ‒ можно выразить через события А и B:

С = А + B. (Заметим, что событие С происходит также и в случае, если

оба шара белые). Используя формулу суммы событий, получим:

2-ой способ. Событие С является противоположным собы-

тию С ни из одной урны белый шар не вынут, т.е. оба шара ‒ чер-

ные. Поэтому

P(C) 1 P(C) 1 P( A B) 1 P( A) P(B) 1 23 13 79 .

Здесь были использованы формулы вероятности противоположных

событий: P( A) 1 P( A) 1 13 23 ; P(B) 1 P(B) 1 23 13 .

ПРИМЕР 2. Цепь, изображенная на рисунке, состоит из четырех

элементов a1, a2, a3, a4. Вероятности работоспособности элементов соответственно равны 0,9; 0,8; 0,6 и 0,85. Какова вероятность прохо-

ждения тока по цепи?

32

Рис.7. К примеру 2

Решение. Пусть событие С ‒ по цепи идет ток. Обозначим че-

рез (I) часть цепи, состоящую из элементов a1 и a2, а через (II) ‒ часть цепи, состоящую из элементов a3 и a4. Части (I) и (II) расположены в цепи параллельно, поэтому для прохождения тока по всей цепи должна быть исправна хотя бы одна из цепей (I) или (II). Поэтому

С = А + B,

где событие А ‒ исправна часть (I), а событие B ‒ исправна часть

(II).

В цепи (I) элементы расположены последовательно. Для прохож-

дения по ней тока оба элемента a1 и a2, должны быть исправными.

Вероятность этого события

p( A) p1 p2 0,9 0,8 0,72 .

Аналогично, цепь (II) исправна, если исправны оба элемента a3 и a4.

Вероятность этого события p(B) p3 p4 0,6 0,85 0,51. Здесь удобней найти вероятность противоположного события C (ток по цепи не идет). Событие C произойдет, если неисправны сразу обе части цепи (I) и (II). В силу независимости элементов цепи

p(C) p( A) p(B) (1 p( A))(1 p(B)) (1 0,72) (1 0,51) 0,1372 .

Тогда искомая вероятность p(C) 1 p(C) 1 0,1372 0,8628 .

33

ПРИМЕР 3. В урне лежат 12 белых, 8 красных и 10 синих ша-

ров. Не глядя, вынимают два шара. Какова вероятность, что вынуты шары разных цветов, если известно, что среди них не оказалось сине-

го шара?

Решение.

1-й способ. Событие А – вынуты два шара разных цветов; со-

бытие B пара не содержит синий шар. Нас интересует условная ве-

роятность события А при условии, что событие B произошло:

2-ой способ. Будем теперь рассуждать несколько иначе. По-

скольку известно, что синие шары не вынимались, то всего существу-

ет n = 20 возможных вариантов исхода опыта. Событие Аi – i-й выну-

тый шар белый, событие Bi – i-й вынутый шар – красный (i = 1, 2).

Если первым вынут белый шар, а вторым красный, то вероятность та-

34