Материал: нефти и газа

кого события P(C) P( A1B2 ) P( A1)P(B2 / A1) 1220 198 . Если первым вынут красный шар, а вторым белый, то вероятность этого события

P(D) P(B1A2 ) P(B1) P( A2 / B1) 208 1219 .

Нас устраивают оба рассмотренных события, т.к. порядок из-

влечения шаров не имеет значения. Тогда, учитывая несовместность событий C и D, получаем искомую вероятность извлечения шаров разных цветов при условии, что ни один синий шар не вынут:

P( A / B) P(C D) P(C) P(D) 1220 198 208 1912 9548 .

ПРИМЕР 4. В коробке лежат две конфеты с вареньем и четыре с суфле. Конфеты одинаковы по внешнему виду. Сестры Маша и Даша поочередно съедают по одной конфете (начинает Маша). Девочки до-

говорились, что той, которой первой достанется конфета с вареньем,

придется в этот день убирать квартиру. Какова вероятность, что квар-

тиру придется убирать Даше?

Решение. Маше придется убирать квартиру (событие A), если конфета с вареньем попадется ей либо на первом круге испытания

(событие A1), либо на 2-м (событие A2), либо на 3-м (событие A3):

A A1 A2 A3 .

Поскольку на двух девочек приходятся всего 6 конфет, более трех кругов испытаний проводить не придется. Обозначим через

Mi , (i 1, 2,3) событие, состоящее в том, что Маша при своей i-той попытке взяла «плохую» конфету с вареньем. Через Di , (i 1, 2,3)

35

обозначим событие, состоящее в том, что «плохую» конфету на i-той попытке взяла Даша. Событие A2 произойдет, если в 1-й раз Маша

вынула конфету с суфле (событие M1 ), затем такую же вынула Даша

( D1 ), а уж затем Маше на 2-ой попытке досталась конфета с вареньем

(событие M 2 ). Событие A3 произойдет, если при первых четырех по-

пытках вынимались конфеты с суфле. При этом «хорошие» конфеты оказались бы разобранными, и Маше при ее очередной, 3-ей по счету,

попытке обязательно досталась бы «плохая» конфета с вареньем.

Запишем выражения для событий A1, A2, A3 через исходы каж-

дой из попыток:

A1 M1,

A2 M1 D1 M2,

A3 M1 D1 M2 D2 M3 .

События A1, A2, A3 несовместны. Поэтому p( A) p( A1) p( A2 ) p( A3) .

По теореме умножения имеем: p( A1) p(M1) 26 13,

p( A2 ) p(M1) p(D1 / M1) p(M2 / (M1 D1)) 46 53 24 15 , p( A3) 46 53 24 13 1 151 .

Теперь получаем искомую вероятность

p( A) 13 15 151 159 53 .

36

Таким образом, Маша (которая брала конфету первой) будет убирать квартиру с вероятностью 3/5, а Даша ‒ с вероятностью 2/5. (Быть первым всегда труднее!)

Задачи к разделу 4

4.1. В урне лежат 3 черных и 5 белых шаров. Из урны по очереди вы-

нимают три шара. Событие A ‒ первые два шара белые, а 3-й черный;

событие B ‒ среди вынутых шаров два белых, а один черный? Какова вероятность этих событий? Какая из вероятностей больше и почему?

4.2. В ящике шкафа лежат 10 красных и 6 синих носков. Студент, не глядя, вынимает из ящика два носка. Какова вероятность, что выну-

тые носки окажутся одного цвета и студент сможет поехать на заня-

тия в институт?

4.3. Решить ту же задачу, если носки лежат в двух ящиках, причем в первом 5 белых, 11 черных и 8 красных носков, а во втором, соответ-

ственно, 10, 8 и 6. Студент один носок берет из первого ящика, а дру-

гой из второго.

4.4. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,8 , а вто-

рым стрелком – 0,6. Стрелки выстрелили одновременно. Какова веро-

ятность событий: а) только один из них попадет в цель; б) хотя бы один из стрелков промахнулся?

4.5.В условиях задачи 4.4 стрелки делают по два выстрела. Какова вероятность хотя бы одного попадания в цель?

4.6.Найти вероятность, что наудачу выбранное двузначное число окажется кратным: а) 2 или 5, б) 2 и 5 ?

37

4.7. В лабораторию для анализа поступило 7 канистр с бензином. Из сопроводительных документов известно, что три из них содержат бензин типа А, две – типа В и две – типа С. Наугад вскрыли три боч-

ки. Какова вероятность обнаружить в них бензин всех трех типов?

4.8.Первый пресс штампует стандартные болты с вероятностью 0,9, а

второй – с вероятностью 0,95. На первом прессе изготовили 3 болта, а

на втором – два. Какова вероятность, что все 5 болтов стандартные?

4.9.Вероятность появления неисправности в автомобиле «Лада При-

ора» в течение одного дня равна 0,05. Какова вероятность, что в ав-

томобиле не возникнет ни одной неисправности в течение трех дней?

4.10. Глубинный манометр испытывают на герметизацию. Проводят не более 5 испытаний, при каждом из которых манометр выходит из строя с вероятностью 0,05. После первой поломки манометр ремон-

тируется, а после второй – признается испорченным. Какова вероят-

ность, что после пяти испытаний манометр будет признан негодным?

4.11. В нефтеносном районе бурят одновременно 6 скважин. Каждая из скважин вскрывает месторождение независимо от других с веро-

ятностью 0,1. Какова вероятность вскрытия месторождения? Изме-

нится ли эта вероятность, если работает одна буровая установка, ко-

торая прекращает бурение при вскрытии месторождения? Сколько нужно пробурить скважин, чтобы вероятность вскрытия месторожде-

ния превысила 0,7?

4.12. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Студент Кара-

пузов может ответить на первый вопрос с вероятностью 0,9; на вто-

рой ‒ 0,6; на третий вопрос – с вероятностью 0,8. Какова вероят-

38

ность, что студент Карапузов сдаст экзамен, если для этого надо: а)

ответить на все вопросы; б) ответить хотя бы на два вопроса?

4.13. Студент успел подготовить к экзамену 20 вопросов из 25. Како-

ва вероятность, что из трех заданных вопросов студент будет знать не менее 2?

4.14. Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероят-

ность попадания первого стрелка равна 0,6; второго – 0,7. Найти ве-

роятности событий:

A – только один стрелок попал в мишень;

B– хотя бы один из стрелков попал в мишень;

C– ни один из стрелков не попал;

D– по крайней мере один из стрелков не попал в мишень.

4.15. Электрические цепи составлены по схемам, изображенным на рис. 8 а), б), в), г), д), е). Вероятность работоспособности элемента ak

равна pk . Элементы работают независимо друг от друга. Для каждой из схем найти вероятность прохождения тока по цепи.

39