Материал: нефти и газа

3. Классическое определение вероятности. Задача о выборке. Геометрическая вероятность

Вероятность характеризует степень объективной возможности наступления данного события. События Аi (i = 1, 2, …, m) называются равновозможными, если при реализации некоторого комплекса условий каждое из них имеет одинаковую возможность наступить или не наступить. Например, при бросании монеты равновозможно выпадение орла или решки, а при бросании игральной кости – равновозможным является выпадение любого количества очков от 1

до 6.

Пусть достоверное событие представляет собой сумму n рав-

новозможных и попарно несовместных событий Аi (i = 1, 2, …, n), то есть

Такие события образуют полную группу попарно несовместных

событий.

Допустим, что событие А представляет собой сумму некоторых m событий, выбранных из набора событий Аi. Тогда вероятность события А равна отношению числа m событий, благоприятствую-

щих событию А, к числу n всех равновозможных событий:

P( A) mn

Это и есть классическое определение вероятности.

20

ПРИМЕР 1. В урне лежат 15 шаров, из которых 6 белых и 9

чёрных. Какова вероятность, что: а) один наудачу извлечённый шар будет белым? б) вынутые наудачу два шара окажутся белыми?

Решение.

а) Проводимое испытание имеет n = 15 равновозможных исходов

(общее количество шаров в урне). Пусть событие А – извлечённый шар оказался белым. Для события А благоприятны m = 6 исходов

(количество белых шаров в урне). Следовательно, искомая вероят-

ность P( A) mn 156 25 .

б) Пусть событие B – два извлечённых шара оказались белыми. Про-

водимое испытание (извлечение двух шаров) имеет n C152 равно-

возможных исходов (способов выбора двух шаров из их общего ко-

личества (15 шаров) без учета порядка следования). Благоприятен со-

бытию B выбор любых двух белых шаров. Число способов выбора 2

белых шаров (без учета порядка) из их общего количества (6 штук)

Задача о выборке

Cреди N предметов имеется m отмеченных. Наудачу вы-

бирают n предметов. Найти вероятность, что среди выбран-

ных ровно k предметов окажутся отмеченными, где 0 k m.

21

n предметов из N (без учета порядка). Отмеченные k предметов долж-

ны быть отобраны среди их общего числа m. Количество способов отбора отмеченных предметов равно Cmk . Среди отобранных также должно находиться n – k неотмеченных предметов из их общего ко-

предметов. Тогда общее количество благоприятных исходов испыта-

ния равно произведению Cmk CNn km . Искомая вероятность равна от-

ношению числа благоприятных исходов к общему количеству исхо-

дов испытания:

ПРИМЕР 2. В студенческой группе по списку значится 20 чело-

век, среди которых 5 отличников. Совет факультета предлагает уве-

личить количество часов на изучение курса математики и решил уз-

нать мнение студентов группы по этому вопросу. Отличники под-

держивают предложение деканата, а остальные студенты считают,

что курс математики вовсе следует сократить. Из группы случайным образом были отобраны три человека, и их мнение было принято. Ка-

кова вероятность, что среди отобранных студентов большинство окажется отличниками, которые поддержат план Совета по увеличе-

нию объема учебной программы дисциплины «Высшая математика»?

22

Решение. Воспользуемся формулой, полученной в задаче о вы-

борке. При этом роль отмеченных предметов играют отличники, т.е.

N = 20 (общее количество студентов в группе), m = 5 (количество от-

личников), n = 3 (количество отобранных на конференцию). К благо-

приятным (для Совета) исходам относятся случаи k = 2 или k = 3

(количество отобранных отличников). Тогда искомая вероятность

Вероятность достаточно мала – скорее всего, количество часов на изучение математики не увеличат.

Геометрическая вероятность

Пусть в область G наудачу бросается точка. Вероятность попа-

дания в какую-либо часть области G пропорциональна мере этой час-

ти (длине, площади, объёму) и не зависит от её расположения и фор-

мы. Таким образом, если событие А – попадание точки в область g,

являющейся частью области G, то

ПРИМЕР 3. В круг радиуса R вписан правильный треугольник.

В круг наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри треугольника (рис. 5).

23

R

Рис. 5. К примеру 3

Решение. Искомая вероятность равна отношению площади

треугольника к площади круга:

ПРИМЕР 4. На отрезке [0; 2 ] наудачу выбраны два числа: x и y.

Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам

х2 ≤ 4у ≤ 4х.

Решение. По условиям опыта координаты точки (х; у) удовле-

творяют системе неравенств

0 x 20 y 2,

то есть точка (х; у) наудачу выбирается из множества точек квадрата со стороной 2. Интересующее нас событие происходит в случае, если точка попадет в область g, определяемой неравенствами х2 ≤ 4у ≤ 4х .

На рис. 6 эта область заштрихована. Искомая вероятность равна от-

ношению площади заштрихованной фигуры (g) к площади квадрата

(G).

24