Материал: нефти и газа

1.15. Сколькими способами можно рассадить 8 кроликов в четыре разные клетки? Рассмотреть случаи: а) все кролики одинаковы (т.е

имеет значение лишь их количество, попавшее в каждую из клеток);

б) кролики различаются по именам.

1.16. В буфете университета продаются пирожные 4 видов: «Наполе-

он», «Эклер», «Песочное» и «Корзиночка». Студенка решила вместо обеда купить 7 пирожных. Сколькими способами она может это сде-

лать?

1.17.Сколько нужно словарей, чтобы переводить с любого из пяти языков на любой другой из них?

1.18.Какой коэффициент окажется перед слагаемым, содержащим множитель a16b4 , если раскрыть скобки в выражении (2a b)20 ?

1.19.В урне лежит 3 красных, 6 черных и 7 белых шаров. Сколькими способами можно вынуть 5 шара. (Способы отличаются количеством выбранных шаров того, или иного цвета).

1.20.Группа из 25 студентов сдает экзамен по математике. Сколько существует исходов экзамена. (Рассмотреть задачу с точки зрения де-

каната, для которого нет различия между студентами, и с точки зре-

ния группы).

1.21. Студент решил позвать одну из своих 5 подруг на концерт и по-

слал каждой из них по письму с приглашением? Сколько вариантов похода на концерт есть у студента?

10

2.Алгебра событий

Событие, относящиеся к результату некоторого испытания (экс-

перимента), которое при выполнении некоторого комплекса

условий может либо произойти, либо не произойти, называется слу-

чайным событием.

Событие, которое в результате испытания:

–обязательно наступит, называется достоверным событием;

–никогда не может наступить, называется невозможным со-

бытием.

Случайные события обычно обозначаются латинскими буквами

A, B, C, D, …; достоверные события – , невозможные – .

Суммой двух событий A и B называется событие C = A + B,

(или иначе, C = A B), которое произойдет, если произошло хотя бы одно из этих событий: A или B (рис. 1а).

Произведением двух событий A и B называется событие

C = A B, (или C = A B), которое произойдет, если произошли од-

новременно оба события A и B (рис. 1б).

Разностью двух событий A и B называется событие

C = A – B (или C = A \ B), которое произойдет, если произошло собы-

тие A, но не произошло событие B (рис. 1в).

11

Событие A = \ A называется противоположным событию

A. Оно наступает тогда и только тогда, если не происходит событие A

(рис. 2а).

Если каждое появление события A влечет за собой появление события B, то говорят, что из A следует B, и пишут: A B, или

A B (рис. 2б). Если одновременно имеют место два соотношения A B и B A, то события A и B называют равносильными и за-

писывают A B.

События A и B называются несовместными в данном испы-

тании, если они не могут произойти одновременно, т.е. A B = .

Полной группой событий называются такие события А, В,

С, …, что при всякой реализации заданного комплекса условий обя-

зательно происходит хотя бы одно из них, то есть А+ В + С + … = .

12

Замечание 1. В соответствии с данным определением события в полной группе могут быть совместными. В литературе встречается определение полной группы событий, включающее требование об их несовместности.

ПРИМЕР 1. Бросается игральная кость. Событие А ‒ выпало четное число очков, событие В ‒ выпало не более трех очков, собы-

тие С ‒ выпало пять очков. Образуют ли эти события полную группу?

Решение. Имеем

А = {2, 4,6}; В = {1, 2,3}; С = {5}

Тогда А+ В + С = {1,2,3,4,5,6}. То есть события А, В, С образуют полную группу. При этом А и В ‒ совместные события.

Замечание 2. Действия над событиями могут быть проиллюст-

рированы с помощью диаграмм Bенна, которые и представлены на рис.1 и 2.

ПРИМЕР 2. Пусть А, В и С – события, означающие попадание точки соответственно в области А, В и С (рис. 3а). Что означает событие

А В+ С?

A A

C C

Рис. 3. Иллюстрации к примеру 2

13

Решение. Событие А В+ С означает попадание в область

(А В) С, которая заштрихована на рис. 3б.

ПРИМЕР 3. Староста студенческой группы факультета АиВТ представил в деканат отчет, в котором говорилось: «В группе учатся

27 студентов, из которых 15 юношей и 12 девушек. Не имеют задол-

женности по математике 18 студентов, из них 9 юношей. Занимаются спортом 17 человек, среди которых 10 юношей и 6 успевающих. Трое юношей не имеют задолженностей и не занимаются спортом». Одна-

ко, хорошо знающий математику декан факультета, тут же указал старосте на ошибку в подсчетах. В чем состояла ошибка старосты?

Решение. Изобразим группу студентов на диаграмме Венна.

Заштрихованная часть представляет юношей. Длинной пунктирной линией ограничена часть студентов без задолженности по математи-

ке, коротким пунктиром ‒ спортсмены. Соответствующие области за-

нумерованы. Например, область (1) ‒ юноши, не сдавшие математику и не занимающиеся спортом, (5) ‒ девушки, спортсменки и без за-

долженностей. Таким же образом будем обозначать количество сту-

дентов соответствующей категории.

(2)+ (4) = 9 (юноши, сдавшие математику)

(3)+ (5) = 9 (девушки, сдавшие математику)

(4)+ (6) = 10 (юноши ‒ спортсмены)

(5)+ (7) = 7 (девушки ‒ спортсмены)

14