Материал: нефти и газа

системы; в) плотности вероятности величин ξ и η в отдельности; г)

вероятность P{ξ 0, 0}. Зависимы ли случайные величины ξ и η?

9.13. Система случайных величин (ξ, η) равномерно распределена в круге радиуса R с центром в начале координат. Найти: а) плотность вероятности системы величин (ξ, η); б) плотности вероятности вели-

чин ξ и η; в) вероятность события {|ξ| R /2, 0 R /3}. Зависимы или нет случайные величины ξ и η?

9.14. Система независимых случайных величин (ξ, η) распределена по нормальному закону с параметрами a1 = 3, a2 = – 2 и 1 = 2, 2 = 4.

Найти: а) совместную плотность вероятности f (x, y); в) плотности ве-

роятности f (x) и f (y) величин ξ и η; г) функцию распределения системы (ξ, η); г) вероятность попадания точки (ξ, η) в прямоугольник

1 5, – 6 2.

9.15. Доказать независимость случайных величин ξ и η с плотностью

вероятности

9.16. Плотность вероятности двумерного случайного вектора (ξ, η)

задается формулой

Найти значение постоянной и вероятность P{x + y < 2}.

9.17. Случайный вектор ( , ) распределен в квадрате 0 x 1, 0 y 1 с плотностью вероятности f (х,у) = 3ху(2 – у).

110

1) Будут ли случайные величины и независимы? Коррелиро-

ваны ли они?

2)Найти вероятности событий: а) > ; б) – > 0,5; в) > 0,5.

3)Найти вероятность того, что конец вектора ( , ) удален от начала координат не более чем на 1.

9.18. Случайный вектор ( , ) распределен равномерно в круге

х2 + у2 < R2. Найти плотность вероятности и функцию распреде-

ления величин и . Будут ли случайные величины и незави-

симыми? Коррелированными?

9.19. Случайные величины и распределены на плоскости нор-

мально, причем M = 20, M = – 24, а их корреляционная матрица имеет вид

Определить плотность распределения случайного вектора ( , ).

9.20. Случайный вектор ( , ) распределен на плоскости нормаль-

но, причем M = M = 0, = = 1 / 2 , 11= 0. Найти вероятно-

сти событий: а) > 0; б) ; в) конец вектора ( , ) принадлежит кругу х2 + у2 < R2; в) конец вектора ( , ) принадлежит квадрату

0 x 1, 0 y 1.

9.21. Компрессорная станция (КС) состоит из блока технических устройств (ТУ) и блока насосно-силовых агрегатов (НА). Время безотказной работы КС распределено по показательному закону с параметром = 0,003 1/ч. Отказы в блоках возникают независимо

111

друг от друга. Найти среднее время безотказной работы блока НА,

если среднее время безотказной работы ТУ составляет 1000 ч.

9.22. Забойное и пластовое давления нефтяной скважины пред-

ставляют собой случайный вектор ( , ), имеющий нормальное

(1,25 1,75) 107 Па, а пластовое в пределах (1,0 1,6) 107 Па.

9.23. Обратное и прямое напряжение пробоя полупроводникового диода можно рассматривать как случайный вектор (ξ; η), имеющий нормальное распределение с параметрами: aξ = 100 В, aη = 0,78 В, σξ = 5 В, ση = 0,07 В, r = 0,5. Диоды, имеющие обратное напряжение пробоя ξ > 105 В или прямое напряжение пробоя η < 0,64 В, браку-

ются. Определить вероятность того, что выбранный случайным обра-

зом диод будет забракован.

9.24. Решить предыдущую задачу в предположении, что обратное и прямое напряжения пробоя являются независимыми случайными ве-

личинами.

112

10. Функции случайных величин

асто в теории вероятностей одна случайная величина представ-

Чляет собой некоторую известную функцию другой случайной величины. Возникает вопрос о том, как связаны между собой харак-

теристики таких случайных величин (ряд и функция распределения,

математическое ожидание, дисперсия и т.д.)

Пусть ξ – дискретная случайная величина с рядом распределения

а случайная величина η связана с ξ функциональной зависимостью

η = φ(ξ). Тогда, если все величины φ(xi) различны, то закон распреде-

ления η имеет вид

В случае совпадения нескольких значений φ(xi) соответствующие столбцы таблицы заменяются одним столбцом с вероятностью, рав-

ной сумме вероятностей объединяемых столбцов.

Пусть ξ – непрерывная случайная величина с плотностью рас-

пределения f (x), тогда плотность распределения случайной величи-

ны η = φ (ξ), где φ(x) – монотонная функция, находят по формуле

где x = –1(y) – функция, обратная к функции y = φ(x).

Функция распределения случайной величины η = φ (ξ), если φ( )

–монотонно возрастающая функция, равна

1( y)

F ( y) f ( x)dx .

Если же φ(x) – монотонно убывающая функция, то

F ( y) f ( x)dx.

1( y)

Математическое ожидание случайной величины η = φ (ξ) равно

Математическое ожидание функции φ(ξ; η) двух дискретных случайных величин (ξ; η) находится по формуле:

M( ; ) ( xi , yi ) pij ,

ij

где суммирование проводится по всем возможным значениям вели-

чин ξ и η.

Математическое ожидание функции η = φ(ξ; η) двух непрерывных случайных величин с плотностью f(x; y) находится с помощью двой-

ного интеграла:

114