Материал: нефти и газа

Для дисперсии функции случайной величины η = φ (ξ) справедли-

вы аналогичные формулы:

Пусть система двух случайных величин (ξ, η) имеет плотность вероятности f (x, y). Тогда плотность вероятности f (z) случайной ве-

личины ζ = ξ + η находится по формуле

Закон распределения суммы независимых случайных величин

называется композицией законов распределения.

ПРИМЕР 1. Случайная величина ξ задана рядом распределения xi – 2 – 1 0 1 2

pi 0,25 0,05 0,35 0,15 0,2

Найти: а) ряд распределения случайной величины η = ξ2 + 1; б)

математическое ожидание Mη и дисперсию Dη.

115

Решение.

а) Случайная величина η принимает значения: 1, 2 и 5. Соответ-

ствующие вероятности равны:

P 1 P 0 0, 35;

P 2 P 1 P 1 0, 05 0,15 0, 2 ;

P 5 P 2 P 2 0, 25 0, 2 0, 45 .

Тогда получаем ряд распределения для случайной величины η:

3

(Как обычно, проверяем выполнение равенства p j 1).

j 1

б) M 1 0, 35 2 0, 2 5 0, 45 3,

D M 2 (M )2 1 0, 35 4 0, 2 25 0, 45 32 3, 4 .

Заметим, что математическое ожидание Mη можно было вычис-

лить, и не находя ряда распределения η:

= ( 4 + 1 ) 0,25+ ( 1 + 1 ) 0,05+ ( 0 + 1 ) 0,35+ ( 1 + 1 ) 0,15+ ( 4 + 1 ) 0,2 = 3 .

ПРИМЕР 2. Случайная величина ξ распределена равномерно на отрезке [0;1]. Найти плотность распределения случайной величины

η = ξ2.

Таким образом, функция распределения случайной величины η равна

а искомая плотность распределения имеет вид

пределения случайной величины ζ = ξ + η при условии, что величины

ξ и η независимы.

Решение. Применим формулу композиции законов распределе-

ния:

117

Произведем в интеграле замену переменной: z – y = u, тогда

du = – dy.

В результате получим плотность распределения случайной вели-

чины ζ = ξ + η:

По условию задачи случайная величина имеет стандартное нормальное распределение: N (0;1), а случайная величина η имеет равномерное распределение на отрезке [–1,1], т.е.

С учетом независимости случайных величин ξ и η получаем вы-

ражения для математического ожидания и дисперсии случайной ве-

личины η:

M M ( ) M M 0 ,

D D( ) D D 1 13 43 .

118

Задачи к разделу 10

10.1. Дискретная случайная величина характеризуется рядом распре-

деления

Найти закон распределения случайной величины η =1 – ξ.

10.2. На вход устройства поступают сигналы, величина которых яв-

ляется случайной и задана законом распределения

Амплитуда сигнала на выходе устройства равна = ( 3 – 9 2 + 23 –

– 15)2. Составить закон распределения случайной величины .

10.3. Случайная величина имеет закон распределения

Найти математическое ожидание случайной величины = 2 + 3 + 1.

10.4. Случайная величина равномерно распределена на отрезке

[– /4, /4]. Найти функцию распределения и плотность вероятности случайной величины η = φ (ξ): а) η = 2 ; б) η = 3; в) η = | |; г) η = e .

119