Материал: нефти и газа

a b,

где a и b – детерминированные величины, причем r = +1 при a > 0 и r = – 1 при a < 0. Коэффициент корреляции характеризует меру ли-

нейной зависимости между случайными величинами.

Основными числовыми характеристиками системы n случай-

ных величин ξ1, …, ξn служат математические ожидания Mξi, дис-

персии Dξi= i2 и корреляционные моменты каждой пары величин

(ξi, ξj):

kij = M[(ξi – Mξi) (ξj – Mξj)], (i, j 1, ,n ).

Матрица, составленная из корреляционных моментов, называет-

ся корреляционной (ковариационной) матрицей:

100

Корреляционная матрица K и нормированная корреляционная матрица R симметричны относительно своих главных диагоналей.

Двумерное нормальное распределение

Система двух случайных величин непрерывного типа с плотно-

стью вероятности

где

называется распределенной по нормальному закону. Нормальное распределение на плоскости зависит от 5 параметров aξ, aη, σξ, ση, r,

причем величины aξ и aη являются математическими ожиданиями случайных величин ξ и η, соответственно, σξ2 и ση2 – их дисперсия-

ми, а r – коэффициентом корреляции.

ПРИМЕР 1. Закон распределения системы случайных величин

(ξ, η) задан таблицей

Найти: а) закон распределения случайной величины η; б) Mη и

Dη; в) условный закон распределения величины η при условии, что ξ приняла значение равное 0; г) являются ли величины ξ и η независи-

мыми?

Решение.

а) Найдем вероятности событий

P 0 P 0; 1 P 0; 0 P 0; 1

0, 02 0, 03 0, 05 0,1.

P 1 P 1; 1 P 1; 0 P 1; 1

0, 06 0,12 0, 02 0, 2.

P 2 P 2; 1 P 2; 0 P 2; 1

0, 08 0, 20 0, 22 0,5.

P 3 P 3; 1 P 3; 0 P 3; 1

0, 04 0,15 0, 01 0, 2.

Теперь может быть записан закон распределения случайной величи-

ны η:

(Легко проверить, что p j 1).

j

б) Математическое ожидание случайной величины η:

M y j p j 0 0,1 1 0, 2 2 0,5 3 0, 2 1,8. j

Дисперсия случайной величины η:

в) Условные вероятности находятся из теоремы умножения по формуле Байеса:

P ( y j ) / ( xi ) P y j , xi .

Поскольку P 0 0, 03 0,12 0, 20 0,15 0,5 , получаем

Таким образом, условный закон распределения η при условии, что случайная величина ξ приняла значение xi = 0, имеет вид

(Как и следовало ожидать, P ( j) / ( 0) 1).

j

г) Безусловный и условный (при условии, что ξ = 0) законы рас-

пределения случайной величины η не совпадают. Следовательно,

случайные величины ξ и η зависимы.

ПРИМЕР 2. Совместная плотность распределения случайных величин ξ и η задана функцией

где область D заштрихована на рис.21.

Найти:

а) плотности распределения случайных величин ξ и η;

103

б) Mξ и Dξ; M и D ;

в) условную плотность случайной величины η;

г) ковариацию случайных величин ξ и η;

д) коэффициент корреляции;

е) выяснить, зависимы ли величины ξ и η.

y

1

x

0 1

Рис. 21. К примеру 2

Решение.

а) Плотности распределения случайных величин ξ и η: