Материал: нефти и газа

9.Системы случайных величин

Совокупность двух и более случайных величин называется сис-

темой случайных величин, или случайным вектором. Функ-

ция распределения пары случайных величин ξ, η (координат случай-

ного вектора) определяется формулой

F(x, y) P{ x, y}.

Для системы n случайных величин ξ1, …, ξn функция распреде-

ления определяется формулой

F(x1, x2...xn ) P{ 1 x1, 2 x2, ..., n xn}.

Функция распределения пары случайных величин обладает сле-

дующими свойствами:

1)F(x, y) не убывает по каждому из своих аргументов.

2)F( , ) F( , y) F(x, ) 0.

3)F( , ) 1.

4)F(x, ) F (x), F( , y) F ( y), где Fξ(x) и Fη(y) – функ-

ции распределения величин и η, соответственно.

Закон распределения пары случайных величин дискретного типа может быть задан матрицей

где x1, x2, …, xm – возможные значения величины ξ; y1, y2, …, yn –

возможные значения величины η. В ячейках таблицы расположены вероятности событий

pij P{ xi , y j}.

Вероятности pij удовлетворяют условиям:

1 ) pij 0 ,

Если величины ξ, η – непрерывного типа, то закон их совместно-

го распределения может быть задан плотностью распределения веро-

ятностей:

Плотность и функция распределения двумерной случайной вели-

чины связаны соотношениями:

Плотность вероятности f (x, y) пары случайных величин обладает

свойствами:

96

где f (x), f ( y) – плотности случайных величин ξ и η.

Вероятность попадания случайной точки в некоторую область D

выражается через плотность вероятности f (x, y) :

P{( , ) D} f ( x, y)dxdy.

D

Условные плотности распределения, т.е. плотности вероятно-

сти одной из случайных величин при условии, что другая принимает фиксированное постоянное значение, определяется формулами:

Случайные величины ξ, η называются независимыми, если их функция распределения равна произведению функций распределения компонент ξ и η:

F(x, y) = Fξ (x) Fη(y).

Для непрерывных независимых случайных величин ξ, η услов-

ные и безусловные плотности вероятностей совпадают: f (x/y) = fξ (x)

и f (y / x) = fη(y), а двумерная плотность равна произведению плотно-

стей компонент:

f (x, y) = fξ (x) fη(y).

97

Начальные моменты пары случайных величин ξ, η определяют-

ся формулами (k, s – целые, k, s 0 ):

Второй смешанный центральный момент μ11 называется корреля-

ционным моментом, (или ковариацией) случайных величин ξ и η:

K cov( , ) 11 M ( M )( M ) M M M .

Вместо корреляционного момента часто используют безразмерную величину

r K ,

называемую коэффициентом корреляции.

Замечание. Если две случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю. Обратное утверждение, вооб-

98

ще говоря, неверно: если две случайные величины некоррелированы,

т.е. их коэффициент корреляции равен нулю, то они вовсе не обяза-

тельно являются независимыми.

Пусть ξ, η – произвольные случайные величины, μ11 – их корре-

ляционный момент, С – постоянная (не случайная) величина. Тогда математическое ожидание и дисперсия обладают следующими свой-

ствами:

1)М(С) = С;

2)М(Сξ) = C Mξ;

3)M(ξ + η) = Mξ + Mη;

4)M(ξ η) = Mξ Mη + μ11;

5)D 0;

6)D(С) = 0;

7)D(Сξ) = C2 Dξ;

8)D(ξ η) = Dξ + Dη 2μ11.

Вчастном случае некоррелированных случайных величин ξ и η

равенства 4) и 8) упрощаются и принимают вид:

Коэффициент корреляции r случайных величин ξ, η удовлетворя-

ет неравенству

– 1 r 1

Абсолютная величина коэффициента корреляции равна 1 в том и только в том случае, если ξ и η связаны линейной функциональной зависимостью

99