Материал: нефти и газа

функции распределения и изобразить их графически. Пользуясь пра-

вилом "трех сигм", найти интервал, в который практически достовер-

но (с вероятностью 0,997) попадает случайная величина :

N (1, 2) . Какое событие более вероятно: 3 4 или –1 0 ?

8.5. Давление на выходе компрессорной станции представляет собой случайную величину, имеющую нормальный закон распределения с

A давление в системе превысит 5,4 106 Па,

Bдавление в системе не превзойдет 4,7 106 Па,

Cдавление в системе будет в пределах (4,9 5,2) 106 Па.

8.6. Суточный дебит скважины на газовом промысле можно считать случайной величиной , имеющей нормальный закон распределения с математическим ожиданием a = 1 106 м3 /сут и средним квадрати-

ческим отклонением = 0,2 106 м3 /сут. Найти вероятности событий:

2 N (0,1; 0, 09) . Каким прибором следует воспользоваться, чтобы вероятность относительной ошибки, превышающей 50%, была наи-

меньшей?

8.8. Участок газопровода между двумя компрессорными станциями

(КС) имеет длину 100 км. Появление утечки газа равновероятно в любой точке участка. Какова вероятность, что она произойдет ближе

10 км от одной из КС?

8.9. В условиях предыдущей задачи в середине газопровода имеется участок длиной 20 км, где из-за характера местности плотность веро-

ятности утечки в два раза выше, чем в остальной части газопровода.

Написать выражение для плотности вероятности и функции распре-

деления расстояния до места утечки газа. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Найти вероят-

ность, что утечка произойдет ближе 10 км от одной из КС.

8.10.Случайные величины 1 и 2 распределены по биномиальному закону с параметрами n1= 20, p1= 0,2 и n2= 20, p2= 0,3. Какое событие более вероятно: 1 8 или 2 8?

8.11.Случайные величины и распределены по экспоненциально-

му закону с параметрами 2 и 4 соответственно. Какое событие более вероятно: 0 3 или 0 3 ?

P { ( < 2 a ) / ( > a ) }, если a = 0,5.

91

8.13. Количество заявок от геологических партий на использование специальной аппаратуры представляет собой случайную величину,

распределенную по закону Пуассона. В среднем за месяц поступает

24 заявки. Найти вероятность событий:

А – за месяц будет более 24 заявок;

B – в течение 5 суток аппаратура будет простаивать;

C – на протяжении 10 суток поступит не менее 7 заявок.

8.14. Число отказов за год на участке магистрального трубопровода подчинено закону Пуассона с параметром a = 0,8 (1/год). Найти: а)

среднее время безотказной работы участка; б) через какой промежу-

ток времени вероятность появления отказа превысит 0,5? в) вероят-

ность того, что в течение трех лет будет не менее двух отказов.

8.15. Эксплуатируются 5 скважин, каждая из которых за месяц может,

независимо от других, выйти из строя с вероятностью 0,1. Необходи-

мая подача нефти обеспечивается, если исправны, по крайней мере, 3

скважины. Какова вероятность обеспечения необходимой подачи нефти?

8.16. Среди 12 одинаковых конденсаторов есть 2 перегоревших. Кон-

денсаторы по очереди вставляются в цепь, пока не будут выявлены оба перегоревших. Какова вероятность, что понадобится ровно 7 ис-

пытаний?

8.17. Бросается монета до первого появления "решки". Случайная ве-

личина равна количеству бросаний. Найти закон распределения случайной величины и вероятность события { < 3 }.

92

8.18. Бросается игральная кость до первого появления шестерки.

Случайная величина равна количеству бросаний. Найти закон рас-

пределения случайной величины и вероятность события { < 6 }.

8.19. На пути движения автомобиля 6 светофоров, на каждом из кото-

рых горит с вероятностью 0,5 зеленый свет, и с такой же вероятно-

стью – красный. Найти закон распределения случайной величины –

числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.

8.20.Какова максимально возможная вероятность достижения двух успехов в серии из 3 испытаний Бернулли?

8.21.(Гамма – распределение). Время безотказной работы конденса-

торов хорошо описывается случайной величиной с плотностью ве-

роятности

где ( p) 0 x p 1e xdx – гамма-функция, для натуральных значений p удовлетворяющая равенству ( p) ( p 1)!. (Для натуральных p

гамма-распределение носит название распределения Эрланга).

а) Доказать, что при p=1 гамма-распределение совпадает с экс-

поненциальным;

б) найти функцию распределения случайной величины ;

в) для значений параметров p = 3, = 0,5 1/год определить веро-

ятность безотказной работы конденсатора в течение 3 лет;

93

г) доказать, что M = p , D = p2 .

8.22. (Логарифмически нормальное распределение). Плотность ве-

роятности случайной величины задана функцией

а) Построить график плотности вероятности логарифмически нор-

мального распределения.

б) Найти функцию распределения случайной величины и построить ее график.

в) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величи-

ны .

г) Найти вероятности событий: A = {0 < < 2}, B = {1 < }.

94