Материал: нефти и газа

Эта вероятность может быть выражена через табулированную функцию Лапласа (см. Приложение)

аналогичным образом:

Функция Лапласа (x) изображена на рис. 20.

(x)

N (0,1)

0,5

(x)

Рис.20. Функция Лапласа

Отметим важные свойства функции Лапласа:

1.( – x) = – (x), т.е. (x) – нечетная функция.

2.(x) – монотонно возрастающая функция.

85

Полезно запомнить следующие важные значения функции Лапласа:

Правило 3 . Для нормально распределенной случайной вели-

чины попадание в интервал [a – 3 ; a + 3 ] представляет собой прак-

тически достоверное событие. Его вероятность близка к единице:

P{a 3 a 3 } 2 (3) 0,9973.

1(x) легко выражаются одна через другую:

Fo(x) = (x) + 0,51(x) = 2 (x)

Помимо перечисленных выше функций, иногда используют так называемую функцию ошибок:

которую также легко связать с функцией Лапласа:

erf ( x) 2 ( x 2)

86

ПРИМЕР 1. Контрольное задание (тест) состоит из 10 вопросов,

предусматривающих ответы «да» и «нет». Тестируемый решил на каждый вопрос давать ответ наудачу. Найти: а) среднее число пра-

вильных ответов; б) вероятность того, что он ответит правильно на все вопросы; в) вероятность того, что он ошибется не более двух раз.

Решение. В данном примере проводится 10 испытаний Бернул-

ли с вероятностью успеха в каждом p = 1/2. Следовательно, случай-

ная величина ξ – количество правильных ответов – подчиняется би-

номиальному закону распределения с параметрами n = 10; p = 1/2.

раз, т.е. два раза или меньше, равна вероятности P{ξ 8} дать 8 или более правильных ответов, и может быть найдена двумя способами:

либо через вероятность противоположного события

(Первый способ, разумеется, предпочтительней, т.к. требует нахож-

дения суммы лишь трех слагаемых при k = 8, k = 9 и k = 10).

ПРИМЕР 2. Случайная величина ξ – напряжение в электриче-

ской сети – изменяется по нормальному закону с параметрами a =

88

= 220 В и = 3 В. Определить вероятность того, что случайная вели-

чина ξ отклонится от математического ожидания не более, чем на 5 В.

Решение. Случайная величина ξ N (220; 32). Отклонение

случайной величины ξ от математического ожидания возможно в обе

стороны, поэтому нужно вычислить вероятность

найдено по таблице функции Лапласа.

Задачи к разделу 8

8.1. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке

[1; 13]. Написать выражение для её плотности вероятности и функции распределения и изобразить их графически. Вычислить, не пользуясь готовыми формулами, величины Mξ , Dξ и . Найти вероятность по-

падания случайной величины ξ в отрезок [4; 27].

8.2. Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины имеет вид

( x 2)2

18 .

Найти коэффициент k и параметр . Написать вид функции распреде-

ления F(x). Найти: F(–1,3); F(4,1); вероятность попадания случайной величины в промежуток [2; 5].

8.3. Случайная величина распределена по нормальному закону с па-

раметрами a и . Написать выражение для плотности вероятности и

89