Материал: нефти и газа
https://new.guap.ru/i04/contacts |
СПБГУАП |
Какая из компаний чаще отказывает в посадке пассажиру, заказавше-
му билет, в связи с отсутствием мест в самолете?
7.8. Доказать, что дисперсия числа появлений успеха при однократ-
ном проведении опыта не может быть больше 0,25.
7.9. Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков, вы-
падающих при однократном бросании игральной кости.
7.10. Монета бросается дважды. Найти закон распределения количе-
ства выпавших "орлов". Определить Mξ, Dξ и .
7.11.Найти закон распределения количества выпавших "решек" при трехкратном бросании монеты. Определить Mξ, Dξ и .
7.12.Случайная величина имеет плотность вероятности f (x) и
функцию распределения F(x). Как изменятся графики этих функций,
если
а) к случайной величине прибавить 1;
б) от случайной величины отнять 2;
в) умножить случайную величину на 2;
г) изменить знак случайный величины на противоположный?
7.13. Какими свойствами обязательно обладает функция распределе-
ния любой случайной величины: |
|
а) четность; |
б) нечетность; |
в) ограниченность; |
г) непрерывность справа (слева); |
д) строгая монотонность; |
е) нестрогая монотонность; |
ж) положительность; |
з) неотрицательность? |
75
https://new.guap.ru/i04/contacts |
СПБГУАП |
7.14. Какими свойствами может обладать плотность распределения
случайной величины: |
|
а) четность; |
б) нечетность; |
в) ограниченность; |
г) неограниченность; |
д) непрерывность; |
е) наличие одной точки разрыва; |
ж) монотонность; |
з) периодичность; |
и) положительность; |
к) неотрицательность? |
7.15. Может ли функция
0, x 0,2
φ( x) x, x 0,1
x 1, x 1,2
быть плотностью вероятности случайной величины? Функцией рас-
пределения?
7.16. Может ли функция |
|
0, |
x ,0 1,2 |
|
x 0,1 |
φ( x) x, |
|
1, |
x 2, |
|
|
быть плотностью вероятности случайной величины? Функцией рас-
пределения?
7.17. Количество нефти в резервуаре представляет собой случайную величину. Может ли ее функция распределения иметь какой-либо из графиков, изображенных на рис.15? Какова особенность наполнения резервуара нефтью в каждом из возможных случаев?
76
https://new.guap.ru/i04/contacts |
СПБГУАП |
а) |
F (x) |
б) |
F (x) |
|
1 |
|
1 |
0 |
x |
|
0 |
x |
в) |
F (x) |
г) |
F (x) |
|
|
||||
1 |
|
1 |
|
|
0 |
x |
0 |
x |
Рис. 15. К задаче 7.18
7.18.Может ли второй начальный момент v2 случайной величины быть больше её дисперсии?
7.19.Случайная величина имеет плотность
2x, x 0,1 f ( x)
0, x 0,1
а) Не проводя вычислений, определить знак центрального момента третьего порядка 3. б) Найти медиану Me.
7.20. Случайная величина задана функцией распределения F(x). Вы-
яснить, является ли случайная величина непрерывной. Найти ее плотность вероятности f (x), если она существует. Построить графики
F(x) и f (x).
77
https://new.guap.ru/i04/contacts |
СПБГУАП |
|
x |
, |
x 0 |
e |
|
||
а) F(x) = |
|
|
x 0 |
1, |
|
||
|
|
|
|
0,5ex , x 0 |
|||
|
|
|
0 x 2 |
в) F(x) = 0,8, |
|||
1, |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
0, |
|
x 1 |
|
|
|
|
1 x 2 |
д) F(x) = ln x, |
|||
1, |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
0, |
x 1 |
|
|||||
|
1, 1 x 2 |
|
|||||
б) F(x) = x |
|
||||||
1, |
|
x 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
0, |
|
|
x / 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
г) F(x) = 1 sin x, / 2 x 0 |
|||||||
1, |
|
|
x 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0, |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
x |
|
|
0 x |
||||
е)F(x) = |
|
|
|
|
, |
||
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
7.21. Случайная величина имеет плотность вероятности (закон Ре-
лея):
0, |
x 0 |
f (x) = |
2 |
2axe ax |
, x 0 |
|
|
Найти функцию распределения F(x). Построить графики F(x) и f (x)
при a = 0,5.
7.22. Случайная величина имеет плотность вероятности (закон Лап-
ласа):
f (x) = ae |x|, const 0 .
Найти коэффициент a и функцию распределения F(x). Построить графики F(x) и f (x).
7.23. Случайная величина имеет плотность вероятности
78
https://new.guap.ru/i04/contacts |
СПБГУАП |
0, |
x 0 |
|
0 x 1 |
x, |
|
f (x) = |
|
2 x, 1 x 2 |
|
|
x 2 |
0, |
|
Найти: а) функцию распределения случайной величины ; б) веро-
ятность события A = {0,2 < < 0,9}; в) медиану Me.
7.24. Пусть плотность вероятности случайной величины задается формулой
0, |
|
x 1 |
||
f (x) = |
1 |
, |
x 1 |
|
|
|
|
||
|
2 |
|||
x |
|
|
|
|
Найти вероятности P{A1 A2} и |
P{A1 + A2}, если событие A1 = |
|||
= {0 < < 2}, а событие A2 = {4 < < 5}.
7.25. Случайная величина распределена по закону Симпсона (рис.
16). Написать выражение для плотности вероятности. Найти функ-
цию распределения и построить ее график. Определить вероятность
P{ – a/2 < < a}.
f (x) a
|
|
|
|
|
a |
a |
x |
||
Рис. 16. Закон Симпсона
7.26. Точка брошена в круг радиуса R. Вероятность ее попадания в любую область внутри круга пропорциональна площади этой облас-
79