Материал: нефти и газа

Функция f(x) называется плотностью распределения веро-

ятностей.

Рис.11. Функция распределения дискретной случайной величины

Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины

ξ и плотность вероятности f(x) связаны соотношениями:

Замечание. Случайная величина, не принадлежащая ни к дискретному, ни к непрерывному типу, называется смешанной. Функ-

ция распределения случайной величины смешанного типа имеет раз-

рывы, однако при этом не является кусочно-постоянной.

Функция распределения любой случайной величины обладает

следующими свойствами:

65

4.P{ } F( ) F( ).

Плотность вероятности случайной величины имеет свойства:

1.f (x) 0.

3.P{ } f ( x)dx.

В качестве основных числовых характеристик случайных вели-

чин рассматриваются моменты и квантили.

Начальным моментом vk порядка k дискретной случайной

величины ξ называется выражение (k – целое, k 0):

vk xik pi , i

где суммирование проводится по всем значениям случайной величи-

ны. Для непрерывной случайной величины начальный момент поряд-

ка k определяется через плотность вероятности:

vk xk f ( x)dx.

66

Начальный момент первого порядка носит название мате-

матического ожидания случайной величины и характеризует ее

среднее значение:

Математическое ожидание случайных величин обладает свойст-

вами:

1.М(С) = С.

2.М(Сξ) = C Mξ, (C – постоянная).

3.M(ξ + η) = Mξ + Mη.

4.M(ξ η) = Mξ Mη, (для независимых величин ξ и η).

Центральным моментом μk порядка k случайной величи-

ны ξ называется выражение

Дисперсия (центральный момент 2-го порядка) случайной

величины ξ характеризует ее разброс относительно среднего значе-

ния и выражается через начальные моменты 1-го и 2-го порядка:

D M [ M 2 ] v2 (M )2 M 2 M 2 .

67

Корень квадратный из дисперсии носит название среднего

квадратического отклонения случайной величины:

Центральный момент третьего порядка характеризует степень несимметричности распределения случайной величины относительно ее среднего значения. Величина

A 33

называется коэффициентом асимметрии.

Квантилем xp порядка p называется величина, определяемая равенством

F(xp) = p,

где F(x) – функция распределения.

На рис. 12 показан квантиль xp порядка p для случайной величи-

ны непрерывного типа. Рис. 12а представляет функцию распределе-

ния, рис. 12б – плотность распределения вероятностей. Заштрихован-

ная площадь равна p.

68

Квантиль x0,5 порядка 0,5, определяемый соотношением F(x0,5) = = 0,5 называется медианой. Площадь под кривой y = f(x) плотности

вероятности делится пополам вертикальной прямой x = x0,5, проходя-

щей через медиану. (На рис. 12б соответствующая заштрихованная площадь в этом случае равна 0,5). Для медианы принято обозначение:

Me = x0,5.

случайной величины:

а)-функция распределения; б)-плотность вероятности

ПРИМЕР 1. В урне лежат 4 белых и 3 черных шара. Наудачу из урны извлекают 3 шара. Случайная величина ξ представляет собой число извлеченных при этом белых шаров. Найти: а) закон распреде-

ления случайной величины ξ; б) вероятность события A = {ξ ≥ 2};

в) математическое ожидание Мξ случайной величины ξ.

Решение. Возможные значения случайной величины ξ: 0, 1, 2,

3. Соответствующие им вероятности находятся по формуле из задачи о выборке: