Материал: нефти и газа

6. Испытания Бернулли. Теоремы Муавра – Лапласа

усть проводятся n независимых испытаний, в каждом из кото-

прых некоторое событие A может произойти с одной и той же вероятностью p. Такие испытания носят название испытаний Бер-

нулли.

Вероятность того, что в n испытаниях Бернулли событие A про-

изойдет ровно k раз, можно найти по формуле

В случае большого количества n испытаний c малой вероятно-

стью успеха p в каждом из них, (p < 0,1; np < 10), вместо формулы (1)

приемлемую точность вычисления вероятности k успехов в n испы-

таниях дает приближенная формула Пуассона:

Если количество n испытаний Бернулли велико, а npq 20 (т.е.

вероятность p появления события A в каждом испытании не слишком мала), применяются другие приближения формулы Бернулли.

Локальная теорема Муавра – Лапласа.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях Бернулли

(n 1) событие A произойдет ровно k раз, может быть найдена по приближенной формуле:

55

где p вероятность появления события A в каждом испытании, q = 1 – p.

Здесь функция

представляет собой плотность

пределения. Ее значения приведены в таблицах (см. Приложение).

Интегральная теорема Муавра – Лапласа

Вероятность того, что в n независимых испытаниях (n 1) со-

бытие A произойдет от k1 до k2 раз, приближенно можно найти по формуле

где p вероятность успеха в каждом испытании, q = 1 – p.

Здесь функция (x) представляет собой функцию Лапласа:

Функция (x) также представлена в таблицах (см. Приложение).

Следствие. Пусть m / n относительная частота появления ус-

пеха (события A) в n испытаниях Бернулли при вероятности p каждо-

56

го успеха. Тогда вероятность того, что абсолютная величина откло-

нения относительной частоты от вероятности события A окажется меньше , может быть найдена по формуле

Замечание. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лап-

ласа обеспечивают приемлемую точность, если вероятность p каждо-

роятность p должна быть не слишком мала и не близка к единице.

ПРИМЕР 1. Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность,

что герб выпадет ровно четыре раза?

Решение. В данных испытаниях Бернулли n = 6 , p = 0 ,5 (веро-

ятность появления герба). Тогда по формуле (1) имеем

ПРИМЕР 2. Вероятность рождения девочки равна 0,51, а маль-

чика 0,49. Какова вероятность, что в семье с тремя детьми окажется не более одной девочки?

Решение. В этих испытаниях Бернулли будем считать успехом рождение мальчика. Тогда p = 0,49; q = 0,51. Искомая вероятность равна сумме вероятностей появления в семье либо двух, либо трех мальчиков:

57

pP3(3) P3(2) C33 0,49 3 0,51 0 C32 0,49 2 0,51 1

0,49 3 3 0,49 2 0,51 0,49 2 0,49 3 0,51 0,485.

ПРИМЕР 3. В среднем 90% студентов первого курса продолжа-

ют дальнейшее обучение. Какова вероятность, что из 800 студентов первого курса перейдут на второй курс: а) ровно 720 человек? б) от

700 до 730 человек? в) более 700 человек?

Решение. Вероятность перейти на второй курс для студента

(Заметим, что полученное значение вероятности достаточно мало, т.к.

практически невероятно, что отчисленными окажутся ровно 800 – 720

= 80 студентов. Впрочем, вероятность быть отчисленными для любо-

го другого числа студентов оказалась бы еще меньше, поскольку при k n p аргумент функции (x) отличен от нуля, а значит ее значе-

ние, а следовательно и вероятность Pn(k) уменьшились бы).

б) по интегральной теореме Муавра – Лапласа

1,18 2, 36 1,18 2, 36 0, 381 0, 491 0,872;

58

в) по интегральной теореме Муавра – Лапласа

9, 43 2, 36 9, 43 2, 36 0,5 0, 491 0, 991.

ПРИМЕР 4. На потоке учится 200 студентов. Какова вероят-

ность, что у двоих из них день рождения придется на 1-е января?

Решение. Вероятность рождения студента в любой из дней го-

да (в частности, 1-го января) будем считать одинаковой, тогда p = 1 / 365, n = 200. Поскольку np< 10, а вероятность p мала, в этой за-

даче можно воспользоваться формулой Пуассона:

Тогда p = 0,0868.

Замечание 2. Если бы мы решили использовать в данной задаче точную формулу (1) Бернулли:

Pn (k ) Cnk pk qn k ,

то при p = 1 / 365, n = 200, k = 2 получили бы

После громоздких арифметических вычислений был бы получен точ-

ный результат p = 0,0863, весьма близкий к приближенному (отличие менее 1%).

59