Материал: Нанотехнологии для всех (Рыбалкина), 2005, c.444

ГЛАВА 2. Законы квантового мира

случае звуковых или морских волн. Волновая функция – поня тие чисто математическое и имеет вероятностный смысл.

Чтобы обеспечить понимание волновой функции, нам не обходимо познакомиться сначала с основами теории вероятнос тей. Эта тема, как правило, не входит в обычный школьный курс математики, хотя на самом деле здесь нет ничего сложного.

Основные положения теории вероятностей

Окружающий нас мир полон случайностей. Номера выиг рышных билетов в лотерее, количество солнечных дней в году, ре зультаты спортивных состязаний, выпадение “решки” при подб расывании монеты, неожиданная случайная встреча, кардинально переворачивающая судьбу – все это примеры случайных событий, происходящих в повседневной жизни и влияющих на нее.

Теория вероятностей не может предсказать, произойдет или не произойдет какое то реальное событие, а лишь предла гает математический аппарат для анализа и прогнозирования вероятности его появления. Она изучает вероятностные зако номерности случайных событий, существующие объективно, т.е. независимо от наших желаний и предпочтений.

Исторически зарождение теории вероятностей связано с поиском закономерностей в азартных играх, таких как карты и кости. Именно тогда были предприняты первые попытки мате матического прогнозирования и количественного определения шансов на успех. Исходными понятиями здесь являются поня тия “случайное событие” и “испытание” (опыт, эксперимент).

Случайное событие – это явление, которое при одних и тех же условиях может или произойти, или не произойти.

Испытание – это создание и осуществление этих неопреде ленных условий. Любое испытание приводит к результату или исходу, который заранее невозможно точно предсказать.

Случайные события происходят повсеместно – в природе, нау ке, технике, экономике, военном деле и т.д. Приведем простейшие примеры испытаний и соответствующих им случайных событий.

Важно отметить, что на самом деле “случайные события” вовсе не случайны просто для их расчета пришлось бы учесть такое количество факторов и произвести расчеты такой сложнос ти, что никто этим не занимается. Однако с совершенстованием компьютеров и датчиков люди cмогут анализировать данные все

НАНОТЕХНОЛОГИИ ДЛЯ ВСЕХ

Табл 3. Примеры простейших испытаний и событий

быстрее и точнее и многие события перестают быть случайными. Например, попадание снаряда в цель перестало быть случайным, когда в нем появился компьютер, рассчитывающий и корректи рующий траекторию полета. Выигрыш в рулетку сотни лет счи тался случайностью, пока хитрые игроки не наловчились переда вать данные об игре через видеокамеру в суперкомпьютер, кото рый смог рассчитать, на какую цифру упадет шарик. С развитием нанотехнологии компьютеры станут еще мощнее и компактнее, а значит, многие события перестанут быть случайными и станут не только предсказуемыми, но и управляемыми.

Случайные события могут быть:

а) достоверными или невозможными; Достоверным называется событие, которое в данных усло

виях всегда происходит, невозможным – если оно никогда не может быть результатом данного испытания. Например, при бросании монеты событие А – “Выпадение какой либо сторо ны монеты” будет достоверным, а B – “Одновременное выпа дение “решки” и “орла”” – невозможным.

б) зависимыми или независимыми;

Если появление одного события влечет за собой появление другого, то говорят, что второе событие зависит от первого.

в) равновероятными или неравновероятными; Например, в случае бросания игральной кости события вы

падения каждой цифры равновероятны (если, конечно, это “честная” кость, без смещенного центра тяжести).

А вот вероятности события “В полдень в Москве выпадет снег” будут сильно различаться в зависимости от времени года, соответствующего данному испытанию.

К определению самого понятия вероятности существует нес колько различных подходов. Мы рассмотрим лишь те из них, ко торые необходимы нам для понимания изучаемых квантовых яв лений, а именно – классический и статистический подходы.

94

ГЛАВА 2. Законы квантового мира

Классическое определение вероятности исторически сло жилось первым. Оно имеет место в случаях, когда случайные события являются равновероятными. Для начала рассмотрим пример: предположим, в корзине лежат 10 шаров одинакового размера, из которых 6 – красных, 3 – зеленых и 1 – желтый. Все шары хорошо перемешаны, а опыт состоит в том, что мы науда чу вытаскиваем один шар из корзины.

Результатом этого опыта будет служить одно из следующих случайных событий … ,

где – выпадение красного шара

– выпадение зеленого шара

– выпадение желтого шара Интуитивно понятно, что вероятность выпадения красно

го шара выше, чем остальных, поскольку среди всех возможных исходов количество возможных благоприятных исходов, соот ветствующих этому событию, выше. Таким образом,

Вероятность – это отношение числа благоприятных событию исходов m к общему числу всех равновозможных исходов n

Обычно вероятность обозначают буквой P (от англ. “prob ability” вероятность). Вероятность в данном случае понимает ся как количественная мера объективной возможности появле ния случайного события А и определяется формулой

В нашем примере событиям выпадения красного, зеленого и желтого шара будут соответствовать вероятности 6/10, 3/10 и 1/10.

Функция вероятности обладает некоторыми специальны ми свойствами:

1. 0<P<1 , так как количество благоприятных исходов не может быть больше их общего числа.

2.Вероятность достоверного события = 1

3.Вероятность невозможного события = 0

Статистическое определение вероятности Классическим подходом к вероятности удобно пользоваться,

когда количество всех равновозможных исходов в опыте ограни чено и не слишком велико. Однако эти условия не всегда соблю

НАНОТЕХНОЛОГИИ ДЛЯ ВСЕХ

даются на практике: иногда приходится решать задачи, в которых число исходов постоянно меняется или бесконечно велико. Кро ме того, не всегда события могут быть равновероятными.

Практика показывает, что массовые случайные явления об ладают одним уникальным свойством: с увеличением числа ис пытаний повышается устойчивость их появления. Например, если повторить опыт бросания монетки 100 раз, то примерно в 50% испытаний выпадет “орел”, а в 50% “решка”. Если увели чить число испытаний до 1000 раз, это в конце концов приведет

кеще большей устойчивости частоты полученных значений, а это уже определенная закономерность.

При статистическом подходе нас интересует не исход отдель но взятого испытания, а то, что получается в результате его мно гократного повторения, то есть в качестве статистической вероят ности события принимают частоту появления того или иного со* бытия при неограниченном увеличении числа испытаний.

Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка

к0.4, то это число можно принять за статистическую вероят ность события.

Статистический вероятностный подход используется пов семестно для анализа и прогнозирования событий, процессов, явлений. На его основе построены некоторые научные теории физики, квантовой механики, эволюции, генетики, информа тики и др. Вероятностно статистические методы широко при меняются в промышленности для контроля качества продук ции, технической диагностики оборудования, организации массового обслуживания, астрономических наблюдений и т.д.

Врамках статистического подхода вводится понятие плот* ности распределения вероятности р(х), вид функции которой определяет закон распределения случайных величин. Сущест вуют самые разные законы распределения: равномерное расп ределение, распределение Пуассона, распределение Бернулли и др., но наиболее распространено в природе так называемое

нормальное распределение, или распределение Гаусса. На рисунке представлен вид функции такого нормального распределения,

асмысл его заключается в том, что в результате большого числа испытаний относительная частота появления какого то собы тия группируется вокруг некоторого среднего числа, которое и можно принять за значение статистической вероятности.

96

ГЛАВА 2. Законы квантового мира

Рис 39. График функции плотности вероятности при нормальном распределении

Следующий пример наглядно иллюстрирует данный закон распределения: предположим, мы высыпаем мешок гороха на пол, держа его в одном и том же вертикальном положении. В принципе, после этого существуют некоторая вероятность об наружить горошину в любом месте комнаты, даже в самом дальнем углу. Однако вероятность того, что мы найдем гороши ну в самом центре образовавшейся на полу “кучки”, гораздо выше. Значение вероятности, соответствующее координате центра кучки, мы и принимаем за статистическую вероятность.

Другой пример: пусть производится серия выстрелов по це ли. Если учесть, что стрелки палят не наобум, а прилагают все усилия, чтобы попасть в “яблочко”, то вероятность попадания пули будет возрастать с приближением к центру мишени.

Но “вернемся к нашим баранам”. Итак, мы решаем задачу нахождения микрочастицы в некотором объеме dV, например, ищем местоположение электрона в атоме. Как мы уже знаем, из за несовершенства измерительных приборов мы не можем точно указать его местоположение, а можем лишь указать вероятность dP его местонахождения в той или иной части объема dV.

Кроме того, мы знаем, что эта вероятность dP прямо про порциональна dV и связана с ней следующим соотношением:

dP=| |2·dV

где| |2– это квадрат амплитуды волновой функции, мате матический смысл которой соответствует как раз функции плотности распределения вероятностей.

Перепишем данное уравнение в виде: