Материал: Нанотехнологии для всех (Рыбалкина), 2005, c.444

НАНОТЕХНОЛОГИИ ДЛЯ ВСЕХ

Такое сравнение помогает понять суть квантования орбит. Известно, что натянутые струны рояля как простейшие резона торы могут колебаться только с определенной частотой. Поэто му, говоря об электронных орбитах, следует иметь в виду раз личные частоты колебаний. Меняя частоту, электрон излучает световую волну, частота которой тем выше, чем больше разни ца частот электрона, между которыми произошел переход.

Приведем еще одну аналогию, которая поможет облегчить понимание волновой природы электрона. Вообразите серию волн, набегающих на пологий берег. Они имеют вполне опреде ленную скорость, и ее можно вычислить, зная время и расстояние между двумя соседними гребнями. Волна, однако, не особенно локализована, она занимает большое пространство. Электрон, скорость которого известна (в отличие от положения, которое мы смутно представляем), можно представить в виде такой волны.

Длина волны де Бройля обратно пропорциональна импуль су частицы. Фактически это означает, что для больших тяжелых частиц длина волны очень мала, и волновые свойства таких час* тиц заметить практически невозможно. Это касается всех мак рообъектов, для более менее точного описания которых вполне хватает классической механики.

Квантовые пределы точности измерений

Одной из актуальнейших проблем современной нанотехно логии является так называемая “проблема толстых пальцев”, под которой подразумевается сложность манипулирования микро и наночастицами. Ведь если даже диаметр волоса в несколько ты сяч раз превосходит нанометровые размеры, то какими же долж ны быть инструменты для работы с объектами квантового мира?

Бор сформулировал один из основополагающих принци пов квантовой механики – принцип дополнительности, согласно которому невозможно точно измерить одну физическую вели чину микрообъекта без потери информации о величине, допол нительной к ней.

Фактически суть таких взаимно дополнительных величин описывается и соотношением неопределенностей Гейзенберга, которое утверждает, что существуют такие пары физических вели чин, одновременное и точное определение которых невозможно.

88

ГЛАВА 2. Законы квантового мира

Примером такой пары величин являются координаты части цы x и проекция ее импульса p на ось х. Количественно соотно шение неопределенностей формулируется следующим образом:

Если x–неопределенность координаты частицы, а p– неопределенность проекции импульса частицы p на ось x, то произведение этих неопределенностей должно быть не меньше постоянной Планка ћ:

Отсюда следует, что если мы точно определили координату частицы:

то мы ничего не можем сказать об ее импульсе:

И наоборот.

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определено значение одной из входящих в него величин, тем ме нее определено значение другой. Например, по столу ползет му ха. Попытаемся определить одновременно ее координату и им пульс. Для точного определения координаты “зафиксируем” по ложение мухи хлопушкой. Да, в этом случае мы точно знаем ко ординату мухи, но что тогда можно сказать о ее импульсе? Ведь она уже не ползет, а лежит вверх ножками… Конечно, данная ана логия не совсем корректна, поскольку муха является далеко не квантовым объектом, но она весьма показательна.

Рассмотрим еще несколько примеров. Допустим, нам тре буется определить координату x и импульс p электрона. Зная, что электрон обладает волновыми свойствами, мы даже интуитивно чувствуем, что волна – это ускользающий объект, который “не дается в руки”. Чтобы определить местонахожде ние электрона x, он должен рассеять хотя бы один фотон. При этом вследствие дифракции координата будет определена с точностью до порядка длины волны фотона:

x ~ (1).

Но, рассеивая фотон, электрон изменяет свой импульс на величину p, которая будет примерно равна импульсу фотона:

НАНОТЕХНОЛОГИИ ДЛЯ ВСЕХ

(2).

Из (1) и (2) следует:

x· p ~ ћ,

то есть как раз соотношение неопределенностей.

Другая пара величин, связанных соотношением неопреде ленностей, – это энергия системы Е и время t, в течение кото рого система имеет это значение энергии. В этом случае соот ношение неопределенностей выглядит так:

E· t ~ ћ.

Отсюда следует, что если мы имеем возможность наблюдать динамическую систему в течение времени t, то ее энергия мо жет быть определена с точностью, не более, чем:

Таким образом, соотношение неопределенностей устанав ливает фундаментальные, принципиально непреодолимые пределы точности измерений. Можно даже сказать, что природа позво ляет изучать себя с точностью только до соотношения неопре деленностей, и не более того.

Читатель может возразить, что если мир един, то почему мы не говорим о принципе неопределенности для измерения клас сических частиц, например, в случае движения бильярдного шара или автомобиля? На самом деле неопределенность прису тствует и здесь, но по ряду причин мы ее не замечаем. Во пер вых, любое измерение, выполненное с помощью инструмен тов, пусть даже самых совершенных (а совершенству, как изве стно, нет предела), не может быть идеальным в том смысле, что положение и скорость не могут быть определены совсем без ошибок. Ошибки hприсущи физическим измерениям; можно стремиться к их уменьшению, но избавиться от них полностью нереально. Во вторых, неопределенность, предсказанная Гей зенбергом, уменьшается с увеличением массы рассматриваемо

90

ГЛАВА 2. Законы квантового мира

го объекта, пока не становится совершенно незаметной в слу чае макроскопических тел.

Итак, мы убедились, что:

Никакой эксперимент не может привести к одновременному и точному измерению величин, которые являются дополни тельными друг к другу.

Принцип дополнительности часто объясняют влиянием измерительного прибора на частицы. С одной стороны, это оп равданно, поскольку большинство измерительных приборов так или иначе является макроскопическими, грубыми по отно шению к размерам квантовых объектов. Понятно, что чем больше техническое несовершенство измерительного прибора, тем менее определенными (точными) будут измерения.

С другой стороны, неопределенность в измерениях связана не только с несовершенством измерительной техники, но и с объективными свойствами материи. Дело в том, что любое из мерение как физический процесс обязательно сопровождается воздействием на объект в процессе измерения. Когда мы, пред положим, определяем силу тока в цепи с помощью амперметра, в идеале нужно изолировать его от всех внешних факторов, в том числе делать это, например, в абсолютной темноте. Ведь фотоны света могут оказывать давление на стрелку и показания амперметра в темноте и на свету будут различными.

Разумеется, ни один психически здоровый человек не станет учитывать подобные “тонкости” в макромире, но когда речь идет о пространстве квантовых величин, без этого просто не обойтись.

Волновая функция и вероятностный характер поведения квантовых объектов

Классическая механика решает задачи, в которых состоя ние системы тел в любой момент времени может быть точно рассчитано.. Квантовой же механике приходится иметь дело с объектами, изучение которых ограничено принципом неопре деленности, описанным выше.

Если в классическом мире мы выбираем некоторый объем dV и решаем задачу поиска местонахождения частицы (напри мер, нахождения телевизора в комнате), то имеются только два варианта точного решения этой задачи:

НАНОТЕХНОЛОГИИ ДЛЯ ВСЕХ

либо частица находится в данном объеме (вероятность

еенахождения там равна 1 или 100%)

либо частицы нет в данном объеме (вероятность ее на хождения там равна 0 или 0%)

Законы квантового мира не обладают той степенью нагляд ности, которая свойственна законам классической механики. Здесь все гораздо сложнее. Например, известно, что указать точ ное расположение электрона в атоме невозможно – он как бы “размазан” вокруг положительно заряженного ядра протона. Тем не менее, мы все же можем утверждать, что с определенной долей вероятности данный электрон находится на той или иной орбите.

Поэтому для решения задачи нахождения частицы в кван товом мире мы можем лишь указать, что вероятность dP того, что частица находится в объеме dV равна:

Очевидно, что чем больше рассматриваемый объем, тем выше вероятность обнаружить в нем искомую частицу (если, например, заранее известно, что телевизор находится в комна те, то, увеличивая объем той части комнаты, в которой произ водится поиск, мы тем самым увеличиваем вероятность успеш ного обнаружения искомого предмета).

Следовательно, вероятность dP прямо пропорциональна dV и связана с ней следующим соотношением:

dP=| |2·dV

Коэффициент пропорциональности | |2– это квадрат амп литуды волновой функции.

Волновая функция это величина, которая в квантовой меха нике полностью описывает состояние микрообъекта (электро на, протона, атома и т.п.) и вообще любой квантовой системы.

Исторически название “волновой” она получила потому, что уравнение, определяющее эту функцию (уравнение Шрё дингера, о котором речь пойдет дальше), внешне похоже на уравнение, описывающее волновые процессы (типа Sin, Cos). Но на самом деле мы не можем ассоциировать волновую функ цию микрочастицы с какой то физической реальностью, как в

92