Материал: Методичка ТОЭ часть вторая

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Для нахождения постоянных интегрирования учтем, что в общем слу-

чае uC 0 0	и в соответствии с первым законом коммутации		duC		i 0	0	,
чае uC 0 0	и в соответствии с первым законом коммутации		dt	0	C	0	,
запишем для	t 0 два уравнения:


	uC 0 U0	A1 A2 ,
	0 p1 A1	p2 A2 ,

решая которые, получим постоянные интегрирования и выражение для uC(t):

uC 0

, A2

uC 0

u t U0

u 0

e p1t

e p2t .

p1 p2

Ток в последовательной R-L-C цепи

i t C

duC

С U

u 0

p1 p2

p1t

p2t

u 0

e p1t

e p2t

L p1

и напряжение на катушке индуктивности

	di				p e p1t	p	2	e p2t
uL t L		U0	uC	0	1				.
	dt				p1	p2

На рис. 1.10 представлены качественные кривые uC t , i t										и u L t , соот-
ветствующие апериодическому переходному процессу при uC 0										0.

Для апериодического переходного режима с критическим сопротивлением на основании (1.12) находим сумму принужденной и свободной составляющих напряжения на конденсаторе:

u	C	t	U	0	A	A t e pt .
	C			0	1	2
При t 0 запишем два уравнения для определения постоянных интегри-
рования:
			uC 0		U0	A1;
			pA1		A2	0.

Таким образом,

uС t U0 U0 uС 0 1	R	t e pt
	2L

	duC					U0 uC 0		R
		A e pt	pA e pt	pA te pt	CpA te pt		te		t .
i t C								2L
i t C								2L
	dt	2	1	2	2	L
	dt					L

Для колебательного переходного процесса на основании (1.13) находим сумму принужденной и свободной составляющих напряжения на конденсаторе:

u t U		0	Ae	t sin	0	t	.
C		0			0
Для нахождения постоянных интегрирования при t							0 запишем два уравнения:
uC 0			U0	Asin	;
0	Asin			A 0 cos .

Решая уравнения, получим постоянные интегрирования:

A uC 0 U0 sin , tg

0 .

Определяем уравнения для напряжения на конденсаторе uC (t) и тока в цепи:

uC 0

sin

t cos

cos

t sin

sin

uC 0

sin

cos

sin

arctg

sin

arctg

;

duC

uC 0

i t

C U0

uC 0

sin

0t .

На рис. 1.11 представлены качественные кривые uC t

i t , соответст-

вующие колебательному переходному процессу при

uC 0

Рис.1.11

При подключении R-L-C-цепи к источнику синусоидального напряжения для нахождения принужденных составляющих тока в цепи и напряжения на конденсаторе следует воспользоваться символическим методом расчета, в соответствии с которым

Ume

j U

Iпрт

Ime

;

j L j

UCпрт

Iпрт

UCme

где Im Um R2

( L 1

C)2 ;

arctg

1 C / R;

UCm Im C .

Таким образом, уравнения принужденных составляющих тока в цепи и напряжения на конденсаторе

iпр t Im sin t

; uCпр t UCm sin t

2 .

В зависимости от величины активного сопротивления возможны три режима:

1. R	Rкр ;		2.	R	Rкр ;	3. R	Rкр ;
p	p	2	p	p	2	p1,2	j 0
1		2	1		2

Наибольший интерес представляет третий режим, связанный с появлением во время переходного процесса собственных колебаний с частотой 0 . При

этом возможны, в зависимости от соотношения частот собственных колебаний и напряжения источника, три характерные варианта: 1 - 0 ; 2 - 0 ;

3 -	0 - которые представлены на рис. 1.12,а,б,в соответственно.

а)

б)

с)

Рис.1.12

1.5. Операторный метод расчета переходных процессов. Операторное изображение функций, их производных и интегралов

Сущность операторного метода заключается в том, что функции f t ве-

щественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция F p комплексной переменной p s j , которую называют

изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование

– делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интег- ро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и, далее, путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Изображение F p заданной функции		f t	определяется в соответствии с
прямым преобразованием Лапласа:
F p	e pt f	t dt .	(1.14)
	0

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается как:

.
F p f t или F p	L f t .
.
Следует отметить, что если оригинал	f t увеличивается с ростом t, то

для сходимости интеграла (1.14) необходимо более быстрое убывание модуля

e St . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе переходных режимов [].

Таблица 1.1

Изображения типовых функций

Оригинал

f t

e t

sin

cos

Изображение

F p

Отметим основные свойства изображений функций.

1. Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

n n

f t

F p .

(1.15)

1 1

2.При умножении функции на постоянный коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:

Af t AF p .

(1.16)

С использованием этих свойств и данных табл. 1, определим изображение экспоненциальной функции:

U		1 e t	U0	U0	.
	0
			p	p α

Запишем изображение производной функции. В курсе ТОЭ [] доказывается, что

если существует изображение функции f	t	F p , то df dt pF p f 0 ,
где f 0 - начальное значение функции	f	t .

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать:

uL	t L	di	LpI p Li 0	(1.17)
		dt

или при нулевых начальных условиях из (1.17)

uL	t L	di	LpI p .
		dt

	25

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных