Материал: методичка по лабам Рцис

8. Вычислить корреляционную функцию случайного сигнала на выходе полосового фильтра с прямоугольной АЧХ; центральная частота фильтра ω0,

полоса пропускания Δω, на входе шум с функцией корреляции R(τ) = W0δ(τ).

Как влияет на результат ФЧХ фильтра?

9. Вычислить корреляционную функцию случайного сигнала на выходе низкочастотного фильтра с прямоугольной АЧХ; полоса пропускания Δω, на входе шум с функцией корреляции R(τ) = W0δ(τ). Как влияет на результат ФЧХ фильтра?

10. На входе полосового фильтра с прямоугольной АЧХ, центральной частотой ω0 и полосой пропускания Δω действует нормальный шум с функ-

цией корреляции R(τ) = W0δ(τ). Найти распределение шума на выходе.

11. На основании данных эксперимента показать выполнение соотно-

шения Δωэфτк ≈ 2π для входного и выходных шумовых сигналов.

12.Привести и пояснить соотношения, обосновывающие возможность наблюдения корреляционных функций случайных сигналов на экране осциллографа при непосредственной подаче шума на вход канала «Y».

13.Случайная величина ϕ принимает значения π/4 и – π/4 с вероятно-

стью 0,5. Найти ковариационную функцию случайного процесса x(t) = sin(ω0t + ϕ). Является ли данный процесс стационарным?

14.Дать определение эффективной ширины Δωэф функции СПМ. Как измеряют Δωэф на практике?

15.Что такое интервал корреляции случайного процесса? Как его измеряют на практике?

16.Как определяют характеристики случайного процесса на выходе линейной цепи при: а) спектральном подходе; б) временном подходе?

17.Какой вид имеют функция СПМ и нормированная КФ шума на выходе RC-фильтра нижних частот? Что в них изменится, если постоянную

времени τ = RC: а) увеличить; б) уменьшить?

18.Объяснить зависимости времени корреляции от параметров цепи: для RC-фильтра – от постоянной времени; для колебательного контура – от полосы пропускания и резонансной частоты.

19.Какие сигналы называют случайными? Привести примеры случайных сигналов. Что означает термин «случайный процесс»? Что такое реализация случайного процесса? Является ли она случайным сигналом?

76

7. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ

7.1. Теоретические сведения

Согласованная фильтрация детерминированных сигналов. Задача об оптимальной фильтрации детерминированного сигнала может быть сформу-

лирована следующим образом. Пусть на вход фильтра поступает аддитивная смесь sвх(t) детерминированного сигнала s1(t), который нужно обнаружить, и

стационарного нормального центрированного белого шума n1(t) с двусто-

ронней спектральной плотностью мощности W0.

Выходной сигнал линейного фильтра sвых(t) также будет представлять

собой аддитивную смесь сигнала s2(t) и шума n2(t) с дисперсией σ22 .

Требуется найти такой линейный фильтр, который обеспечит в некото-

рый момент времени t0 максимальное отношение сигнал/шум на выходе:

Временные и частотные характеристики согласованного фильтра.

Детерминированная составляющая отклика фильтра в момент t0 представляет собой свертку обнаруживаемого сигнала s1(t) с импульсной характеристикой фильтра h(t):

−∞

Для произвольных функций f(x) и g(x) справедливо неравенство Коши– Буняковского:

причем равенство достигается только в том случае, если функции f(x) и g(x)

пропорциональны друг другу.

Применив неравенство (7.3) к правой части формулы (7.2), получим:

согласованным фильтром для сигнала s1(t). Как видно из (7.5), импульсная характеристика согласованного фильтра представляет собой сдвинутую на t0

и зеркально перевернутую во времени копию входного сигнала, что на примере треугольного импульса иллюстрирует рис. 7.1.

Рис. 7.1

Коэффициент передачи согласованного фильтра представляет собой преобразование Фурье от импульсной характеристики (7.5) и может быть легко определен с помощью свойств преобразования Фурье:

Kɺ(ω) = ASɺ1*(ω)e− jωt0 .

Отношение сигнал/шум на входе и выходе согласованного фильтра.

Поскольку шум на входе n1(t) является белым и, следовательно, его диспер-

сия бесконечно велика, отношение сигнал/шум на входе согласованного фильтра, рассчитываемое аналогично (7.1), равно нулю. Для расчета выходного отношения сигнал/шум необходимо предварительно определить вид полезного выходного сигнала.

Подставив в интеграл свертки выражение (7.5) для импульсной характеристики согласованного фильтра, получим:

Поскольку максимальное значение корреляционной функции детерми-

нированного сигнала достигается при τ = 0 и равно его энергии E1, макси-

мальное значение сигнала на выходе согласованного фильтра достигается при t = t0 и равно AE1.

Дисперсия выходного шума может быть рассчитана в частотной области с использованием равенства Парсеваля:

Окончательное выражение для выходного отношения сигнал/шум имеет вид

Итак, отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра не зависит от формы обрабатываемого сигнала, а определяется лишь его энергией и спектральной плотностью мощности входного белого шума.

Применение согласованных фильтров.

1. Повышение разрешения по дальности в локационных системах. В ра-

диолокационных системах передатчик излучает зондирующий импульс, который доходит до цели, отражается от нее и, многократно ослабленный, в смеси с шумом поступает на вход приемника.

Обнаружение цели сводится к обнаружению отраженного сигнала, а определение расстояния до цели – к измерению задержки между зондирующим и отраженным импульсами.

Так как форма излучаемого импульса известна, для обнаружения отраженного сигнала нужно использовать согласованный фильтр, позволяющий максимизировать отношение сигнал/шум на выходе.

Для разрешения двух близкорасположенных целей необходимо, чтобы два отраженных сигнала воспринимались раздельно. Поэтому желательно иметь выходной сигнал согласованного фильтра в виде как можно более узкого пика. Этого можно достичь уменьшением длительности излучаемого импульса, одновременно увеличив его амплитуду, чтобы обеспечить неизменность энергии. Однако действовать так бесконечно нельзя – электрическая прочность элементов выходного каскада передатчика имеет предел.

Но существует и иной путь решения проблемы. Поскольку выходной сигнал согласованного фильтра связан преобразованием Фурье с энергетиче-

79

ским спектром обнаруживаемого сигнала, узкий пик на выходе согласованного фильтра можно получить, расширив спектр сигнала. Как известно, эффективная ширина спектра сигнала и его длительность связаны соотношени-

ем неопределенности: B = Dtэф Dfэф ³ 1, где произведение эффективных зна-

чений ширины спектра и длительности B называют базой сигнала.

Сигналы, для которых соотношение неопределенности близко к равенству, называются простыми. Однако, поскольку ширина спектра определяется внутриимпульсной структурой сигнала, существуют сигналы с базой, много большей единицы, которые называются сложными.

Таким образом, разрешение по дальности можно повысить, используя сложные сигналы.

2. Скрытная передача сигналов. Тот факт, что отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра определяется лишь энергией полезного сигнала и не зависит от его формы, позволяет «замаскировать» сигнал, «спрятав» его в шумах.

Действительно, если сильно уменьшить амплитуду полезного сигнала, соответственно увеличив при этом его длительность, чтобы сохранить энергию постоянной, сигнал перестанет визуально выделяться на фоне шумов.

Однако, если сигнал имеет небольшую базу, такая «маскировка» во вре-

менной области приведет к сильному сужению спектра сигнала. Так как энергия остается неизменной, на тех частотах, где сосредоточен спектр сиг-

нала, его спектральная плотность будет значительно превышать (по модулю)

спектральную плотность шума. Такой сигнал может быть легко обнаружен в спектральной области.

Если же одновременно с удлинением сигнала ввести внутриимпульсную модуляцию, можно избежать сужения спектра и «скрыть» сигнал под шума-

ми как во временной, так и в спектральной области. Таким образом, скрытная передача может осуществляться с помощью сложных сигналов.

3. Примеры сложных сигналов. К применяемым на практике сложным радиосигналам относятся частотно-модулированные и фазоманипулирован-

ные радиосигналы.

Для частотно-модулированных сигналов одним из наиболее распростра-

ненных сигналов является сигнал с линейной ЧМ (ЛЧМ). Мгновенная часто-

та и фаза радиоимпульса с ЛЧМ при |t| £ T/2 определяются равенствами:

80