Материал: Математические методы и модели в экономике. Амелин С.В
Рис. 38. Расчёт вектора валового выпуска
Величины межотраслевых поставок определяются из выражения
Xij = aij · Xj ,
где Xj - элементы транспонированного вектора валового выпуска.
Решение задачи поиска вектора валового выпуска в модели межотраслевого баланса возможно с помощью симплексметода.
Представим модель межотраслевого баланса в виде задачи линейного программирования.
65
Функция цели – максимальный объём валового выпуска
n
f (x) x j max
j 1
система ограничений
n |
|
|
|
|
aij x j yi |
xi |
(i 1, n) |
||
j 1 |
|
|
|
|
условие неотрицательности получаемого решения xj 0 (i 1, n) .
Система уравнений межотраслевого баланса имеет вид
a x a x ... |
a x y x ; |
|||||||
11 1 |
12 2 |
1n n |
1 |
|
1 |
|||
a21x1 a22x2 ... |
a2n xn y2 x2 ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.................................................. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x a |
x ... |
a |
x y |
n |
x . |
||
|
n1 1 |
|
n2 2 |
|
nn n |
|
n |
|
Преобразуем систему уравнений к следующему виду, оставив значения конечного продукта в правой части ограничений, а искомые значения валового выпуска – в левой части
(1 a11)x1 a12x2 ... |
a1n xn y1; |
|
|
|||
|
|
(1 a22 )x2 |
a2n xn y2 ; |
|||
a21x1 |
||||||
.................................................. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
a x a x ... |
(1 a )x y |
n |
. |
|||
|
n1 1 |
n2 2 |
|
nn n |
|
|
При решении задачи с помощью надстройки Поиск решения введём исходные данные и математические выражения так, как это показано на рис. 39.
Для получения решения задачи необходимо вызвать в меню Сервис надстройку Поиск решения и заполнить её так, как это показано на рис. 40.
66
Рис. 39. Ввод исходных данных в модель оптимизации
Рис. 40. Заполнение диалогового окна Поиска решения
67
На рис. 41 показаны результаты решения задачи межотраслевого баланса. Вектор валового выпуска Х= (46,93 53,27 27,38). В целевой ячейке величина суммы валовых выпусков отраслей - 127,579 ден.ед.
Рис. 41. Результата решения задачи межотраслевого баланса
Отыскание вектора конечной продукции
Для решения второй задачи межотраслевого баланса запишем модель Леонтьева в матричном виде
АХ + Y = Х, откуда получим выражение (3.9)
Y = (Е – А) Х.
Пример. Три отрасли выпускают продукцию, причем нормы затрат ресурсов заданы матрицей А, вектор валовой продукции – Х:
|
|
0 |
0,3 |
0,4 |
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = |
|
0,35 |
0 |
0,25 |
|
, Х = |
50 |
|
|
|
0,2 |
0,15 |
0 |
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
||||
Определить вектор конечной продукции Y (рис. 42).
При определении венктора Y используется функция Excel =МУМНОЖ из категории Математические, позволяющая получить результат перемножения матрицы Е-А и вектора Х.
68
Рис. 42. Расчёт вектора конечной продукции
Пример оптимизационной модели отыскания вектора конечной продукции (рис. 43 – 45).
Систему уравнений межотраслевого баланса можно представить в виде Х = В Y или
b y b y |
|
|
... |
b |
y |
|
|
x ; |
||
11 1 |
12 |
|
2 |
|
1n |
|
n |
1 |
||
b21y1 b22 y2 ... |
b2n yn x2 ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
............................................ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b y b |
y |
2 |
... |
b y |
n |
x . |
||||
n1 1 |
n2 |
|
|
|
nn |
|
n |
|||
тогда, в качестве целевой функции задачи оптимизации можно выбрать максимизацию объёма конечной продукции
|
n |
|
|
|
f ( y) y j |
max |
|||
|
j 1 |
|
|
|
при ограничениях |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
bij y j |
xi |
(i 1, n) |
||
j1
иусловии неотрицательности получаемого решения
yj 0 ( j 1, n) .
69