Материал: Математические методы и модели в экономике. Амелин С.В

При составлении межотраслевого баланса предполагается, что все национальное хозяйство разбито на «чистые» отрасли, т.е. отрасли, выпускающие один продукт. Каждая отрасль является и производящей и потребляющей.

Для формализованной записи балансовых соотношений введем следующие обозначения:

i - порядковый номер отрасли, производящей продук-

цию, i = 1, n ; j - порядковый номер отрасли, потребляющей

продукцию, j = 1, n ; n - количество «чистых» отраслей, вхо-

дящих в балансовую модель; Xi - объем валового выпуска i–й отрасли; yi - объем конечного продукта i–й отрасли; Zj - величина добавленной стоимости для j–й отрасли; Xij - объем межотраслевой поставки из i–й отрасли в j–ю, т.е. объем продукции i–й отрасли, используемый при производстве продукции j-й отрасли.

Первый раздел межотраслевого баланса содержит параметры, характеризующие движение межотраслевых потоков

из i-й отрасли в j-ю (Xij). Каждая строка первого раздела баланса характеризует процесс распределения продукции, а

каждый столбец – структуру материальных затрат. Таким образом, в первом разделе межотраслевого баланса отражается та часть совокупного общественного продукта, которая функционирует в сфере материального производства. Поэтому этот раздел называют «промежуточный продукт».

Сумма показателей по i–й строке отражает общий объем продукции i–й отрасли, которая отправляется во все остальные отрасли. Сумма показателей j–го столбца – это общий объем продукции из всех отраслей, которая поступает в j–ю отрасль. Эта величина – материальные затраты j–й отрасли. В модели выполняется следующее соотношение:

60

т.е. общий производственный выпуск всех отраслей соответствует общему производственному потреблению всех отраслей.

Второй раздел межотраслевого баланса содержит величины конечного продукта отраслей. Конечный продукт – это часть совокупного общественного продукта, которая производится в сфере материального производства, а используется в следующих направлениях: непроизводственная сфера потребления (личного и общественного); накопление основного капитала и изменение запасов материальных оборотных средств; сальдо экспортаимпорта. Второй раздел баланса характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода.

Третий раздел межотраслевого баланса содержит параметры, характеризующие добавленную стоимость: сумму оплаты труда и чистого дохода отраслей, а также амортизации основных фондов, т.е. характеризует стоимостной состав национального дохода.

Четвертый раздел используется для проверки правильности расчета баланса:

т.е. валовой выпуск отраслей в стоимостном выражении равен общим расходам этих отраслей, соответственно должны быть равны суммарный валовой выпуск и суммарные расходы.

Основные балансовые соотношения

Первое балансовое соотношение выражает связь между первым и вторым разделами балансовой модели

n

X ij + yi = Xi, i = 1, n , (3.3) j 1

т.е. валовой выпуск отрасли равен сумме промежуточного и конечного продукта.

Второе балансовое соотношение выражает связь между первым и третьим разделами балансовой модели

61

n

X ij + Zj = Xj, j = 1, n , (3.4) i 1

т.е. общие расходы отрасли равны сумме материальных затрат и добавленной стоимости.

Третье балансовое соотношение выражает связь между вторым и третьим разделами балансовой модели

т.е. сумма конечной продукции отраслей равна сумме добавленной стоимости этих отраслей.

Экономико-математическая модель межотраслевого баланса. Модель Леонтьева

Запишем первую систему балансовых соотношений, характеризующих распределение продукции отраслей материального производства:

n

X ij + yi = Xi, i = 1, n . j 1

Предположим, что межотраслевой поток продукции, идущей из i–й отрасли в j–ю, прямо пропорционален валовому выпуску той отрасли, куда они направляются, т.е.

коэффициентами прямых материальных затрат и характеризуют количество продукции i–й отрасли, необходимой для выпуска единицы продукции j–й отрасли. Будем полагать, что коэффициенты аij постоянны в некотором промежутке времени, охватывающем как отчетный, так и предстоящий (планируемый) период.

Подставим выражение (3.6) в первое балансовое соотношение

62

j 1

Выражение (3.7) называется системой уравнений межотраслевого баланса или экономико-математической моделью межотраслевого баланса, или моделью Леонтьева. Модель

Можно сформулировать три типа задач межотраслевого баланса:

1. Известны коэффициенты прямых материальных затрат

(аij; i,j = 1, n ) и объёмы конечного продукта всех отраслей уi. Найти объёмы валового выпуска каждой отрасли Xi.

2.Известны объемы валового выпуска всех отраслей Xi и коэффициенты прямых материальных затрат аij. Найти объемы конечной продукции каждой отрасли yi.

3.Известны коэффициенты прямых материальных затрат

аij. Заданы объемы валового выпуска для части отраслей и объемы конечной продукции для всех остальных отраслей. Найти объемы конечной продукции для первых отраслей и объемы валового выпуска для вторых.

Методы отыскания вектора валовых выпусков

Для решения первой задачи существует два метода: точный и приближенный.

а) Точный метод отыскания вектора валовых выпусков Х. Запишем модель Леонтьева в матричном виде

63

где Е – единичная матрица той же размеренности, что и матрица А; (Е – А) – матрица Леонтьева.

Отсюда решение задачи находится из следующего выражения:

где В = (Е – А)-1 – обратная к матрице Леонтьева матрица. Неотрицательное решение задачи существует, если

0 аij < 1:

б) Приближенный метод отыскания вектора валовых выпусков.

Разложим матрицу (Е – А)-1 в ряд Тейлора, получим

(Е – А)-1 = Е + А + А2 + … + Аk + …

Подставим найденное выражение в зависимость (3.10).

Пример. Три отрасли выпускают продукцию, причем нормы затрат ресурсов заданы матрицей А, вектор конечной продукции – Y:

Определить вектор валовых выпусков и величины межотраслевых поставок.

Решение найдём с помощью функций Excel из категории Математические. Так, обратную матрицу В = (Е – А)-1 найдём с помощью функции =МОБР, вектор Х=В*Y – с помощью функции =МУМНОЖ. Транспонировать вектор Х поможет функция =ТРАНСП (рис. 38). Названные функции вводятся в виде формул массива. Например, для нахождения обратной матрицы следует выделить область B13:D15, ввести функцию =МОБР(B9:D11), нажать клавишу F2 и завершить расчёт нажатием комбинации клавишей Ctrl+Shift+Enter.

64